APUNTES DE MATE V

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1.4. CALCULAR LA DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:Conociendo las coordenadas del punto P 1 (x 1 , y 1 ) y las coordenadas del punto P 2 (x 2 , y 2 ), se trata de encontrar las coordenadas de un tercer punto P r (x , y ) que divide al segmento P1 P 2 . Esto quiere decir que al dividir una recta en una  razón dada “r”, sus proyecciones en los ejes cartesianos están divididos en una misma razón, al establecer un punto sobre una recta éste punto la divide enuna razón “r “, como puede observarse en la siguiente figura: Ejemplo1:Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos r extremos son los puntos A (1,1) y B (6, 6) en una razón tal que: r = 2/3. Solución: X r = x1 + r (x 2 – x 1 ) Y r = y 1 + r (y 2 – y 1 ) 3.-Uno de los puntos extremos de un segmento de recta es el punto P 1 ( 7 , 8) y el punto que divide en una razón r = 1 / 5 es el punto P r (15 , 10). 1.5. DISTANCIA:  La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicaruna relación de alejamiento Efectivo entre dos personas: el desafecto. 1.5.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:  Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, ladistancia queda determinada por la relación:Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1) Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos: A (3, Solución:Primero: Se calculan las distancias de los puntos: AB, BC y CA. Distancia de AB: Distancia de BC:Distancia de CA: Segundo:Para calcular el perímetro se suman los valores de las distancias: P = 3.- Encontrar el perímetro del polígono cuyos vértices son los puntos A(-3 , -1) , B(0 , 3) , C(3 , 4) , D(4 , 1). 1.6. FUNCIÓN LINEAL COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA  F(x) = a x + b; donde a y b son números reales, es una función linealVentajas de las funciones lineales:Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra omejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras,traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyoscomportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente. DOS RECTAS  Y el 1 2 1 2 y el ángulo formado porángulo formado por la recta AB y el eje “x” igual a la recta BC con el mismo eje igual a El ángulo formado por las letras AB yBC lo designaremos como ángulo θ. 1 2 ∞ ∞ 1 2 : 2 2 .m 1 ) = m Tan 45 = 1 =1(1 + m = Tanθ = : Tanθ Solución: De la formula de la tangente dejamos a m que la pendiente m 2 . OBJETIVOS PARTICULARES:  Sabiendo que m = Tan 120 . Solución: m = Tan 120m= - 1.73 y = m (x ) 1 1 ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. 2 Porque si X 1 = X la recta es para ≠ de X lela al eje “Y”  La ecuación de la recta de pendiente “m” y ordenada al origen “b” está dada por la siguiente expresión: Y = m x + b Ejemplo1:Obtener las ecuaciones ordinaria y general de la recta, sabiendo que su ordenada al origen es b = 7 y tiene de pendiente m = -13, con los datos que setienen, construir su gráfica. Lo cual puede apreciarse en la siguiente figura:La expresión q ue determina una ecuación de la recta en su forma simétrica es la sig uiente:la abscisa en el origen dea = x = Intersección con el eje “x” o la recta.la ordenada en el b = y = Es la intersección con el eje “y” o Analiza las siguiente grafica, y encuentra la ecuación de la recta en su forma simétrica, así como su ecuación general. a). 2X + 3Y – 5 =0b). 3X DESIGUALDADES:Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, la cual relaciona los siguientes símbolos: Que se lee mayor que PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES QUE DEBES CONOCER:1.- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambia; por ejemplo:Si a > b; sabiendo que: a = 5 , b = 4 , c = 3 a +c > b +c a 14 Ocho es límite inferior de “x”; es decir que la desigualdad dada solo se verifica para los valores de “x” mayores que ocho. 2a). 6(x + 1) – (2x – 4) (3x + 2) < 3(5x + 21)b). 3x +4 < 16 Primero: Para resolver ésta inecuación, el símbolo de la desigualdad se cambia por el signo de igualdad, quedando la forma general de la recta:2x -5y +7 = 0 Segundo: Se aplican las formulas para calcular las intersecciones con los ejes “x” y “y”, o sea: a = - = - = - 3.5 b = - = - = 1.4Tercero : Con los valores de “a” y “b” se localizan en el plano cartesiano y se traza la recta: SECCIONES CONICAS: UN CASO GENERAL  La Ecuación Ordinaria de la circunferencia de centro C (h, k) y radio ( r ), se llama así porque se encuentra sin resolver y está dada por la expresión: 2 2 2 (x + (y = r ; – h) – k) Y para su estudio se presentan dos casos: I). PRIMER CASO: Si el centro de la circunferencia es el origen “O” entonces: h = 0; k = 0 Circunferencia con centro en fuera del origen (forma general de la circunferencia). 2 X + Y + DX +EY + F =0  Escribir las ecuaciones de la circunferencia de centro en el origen y radio 7. Dar por lo menos cuatro puntos por donde pasa la curva y obtener sus ecuacionesordinaria y general. 2 X + y = 7Para obtener la ecuación general terminamos de resolver: 2 2 X + Y = 49 2 2 X + y – 49 =0; ecuación general. Pero nosotros sabemos que la ecuación general de la circunferencia es: 22 X + Y + DX + EY + F = 0  Por lo que: DX = 0, EY = 0, F = 0 Comprobación: Tomando cualquier punto por donde pasa la circunferencia; por ejemplo el punto P (7, 0), y lo sustituimos en la ecuación general: Escribir las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C (7, - 6) y que pasa por el punto A (2, 2). 1 = 2x + 7y +9 =0 y L 2 = 3x 1 2 circunferencia, resolvemos por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones:L = 2x + 7y +9 =0 1 L 2 = 3x Nota: En este caso, el radio es l a distancia del centro “C” a la recta, por lo que aplicaremos la formula de la distancia de un punto a una recta para obtenereste dato. 2 X + Y + DX + EY + F = 0 A continuación vamos analizar si toda ecuación de la forma general representa siempre a una circunferencia, para lo cuál nos apoyaremos en la ecuaciónordinaria definida por: 2 2 2 (x + (y = r EJEMPLO: 1 Por el método de completando cuadrados; indique si la ecuación general representa a una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico: 22 X + y +8x – 14y +66 =0 PASO1  EJEMPLO 3: Por el método de completando cuadrados; resolver la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-3 ,5) y es concéntrica a la ecuación 2 2 dada: X + Y + 14X 3.4 PARABOLA:Objetivos específicos: Definir que es una parábola y describir sus elementos. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempreigual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. VERTICE DE LA PARABOLA (V):Es el punto (V) de intersección de la parábola con su eje y además es el punto l medio entre el foco y la directriz.(dd ).l LADO RECTO O ANCHO FOCAL DE LA PARABOLA (LL ): Es el segmento de recta perpendicular al eje que pasa por el foco o eje de simetría. PARAMETRO (P):  es paralelo al eje “Y” las ecuaciones son de la forma:(x - h)² = 4p (y - k) Ecuación de la parábola y sus elementos son: Foco (h, k + p)Directriz y = k – p ; para p > 0 Y = k + p ; para p < 0 Lado recto: L r = 4p Eje focal x = h Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba. Solución: Dado que la parábola abre hacia la derecha aplicaremos la formula que le corresponde: 2 Y = 4 PX La ecuación de la directriz es: 2 Y = 4 (4) X, o sea: X = - P 2 Y = 16X X = - 4 La ecuación del lado recto es: Lr =Lr = = 16 Una parábola tiene su vértice en el origen, V (0, 0) y su foco tiene de coordenadas F (0, - 7/2). 2 X = 4 PY2 2 2 X = 4 (- Y = - Y; Donde: X = -14 Y; o sea: X + 14Y = 0. La ecuación de la directriz dd es: Y = - P; o sea: Y = - (- ) =2 Y  De los resultados anteriores; las coordenadas del vértice son: V (h, k), y la distancia del vértice al foco es p = 1.5Las coordenadas del foco son: F (h + p, k) = (6 + 1.5, - 0.5) = (7.5, - 0.5) 3.5 ELIPSE Objetivos elementales: Definir el concepto de elipse y describir sus elementos. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos es igual a una constante positiva. 1 BB = Eje menor acotado por las intersecciones de la elipse con la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el centro y tiene de longitud = 2bFinalmente es importante mencionar la relación pitagórica que existe entre las constantes a, b, c; para el cálculo de algunas distancias, donde a es la mayorde las tres y está dada por: 2 2 2 a = b + c 2 2 2 b = a - c 2 2 2 c = a - b Excentricidad de la elipse La excentricidad es otro elemento importante relacionado con la elipse, y se define como la razón que hay entre las constantes cy a, que determinan la configuración de la misma, y está dada por: e = ; y es un numero comprendido entre 0 y 1.3.6 Deducción de la ecuación de la elipse con centro en el  Solución: Dado que su vértice está sobre el eje “X” se aplica la siguiente fórmula:De los datos del enunciado tenemos que: a = 4 b =2 2 2 a = 16 b =4Sustituyendo en la ecuación tenemos: Solución: Problema 3: Hallar la ecuación de la elipse de foco F (7, 2), con vértice en los puntos A (9, 2) y de centro C (4, 2). Problema 4: Dada la elipse de ecuación , hallar su 3.7 FORMULAS DE LA ELIPSE CON CENTRO EN FUERA DEL ORIGEN:Elipse horizontal Elipse verticalC (h, k) C (h, k) ´ V (h +a, k), V (h ´´ F (h +c, k), F (h(h, k- c) 2 2 2 2 2 2 a = b + c a = b +c Lr = Lr = e = < 1 e = < 1 ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOL A: Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. 3.10 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOL A DE EJE VERT ICAL:  Las tres evaluaciones constan de los siguientes criterios: Prueba objetiva (examen) 70%Participaciones 15% Tareas 15% Participaciones: El presente trabajo pretende ser una guía de apoyo para el profesor en la realización de un proyecto de planeación en el proceso de enseñanzaaprendizaje de acuerdo con el programa vigente dentro del Colegio de Bachilleres en la asignatura de Matemáticas IV. La intención de esta asignatura es que el estudiante integre sus aprendizajes y habilidades previamente desarrolladas respecto al Algebra y la GeometríaPlana, aplicándolos al estudio de la Geometría Analítica, orientándose fundamentalmente a las características geométricas de las figuras cónicas con Anfosi Agustín y Marco Antonio Flores, Geometría analítica, Editorial Progreso.