Aprendizaje en un juego repetido de Cournot: “Un experimento de laboratorio” Pablo Fajfar () pfajfarecon.uba.ar Resumen

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  Aprendizaje en un juego repetido de Cournot: “Un experimento de laboratorio” Pablo Fajfar (*) pfajfar@econ.uba.ar  Resumen   El presente trabajo analiza el comportamiento de un hipotético mercado oligopólico de características Cournotianas compuesto por siete empresas. Estas fueron representadas por alumnos de Microeconomía I de la Facultad de Ciencias Económicas de la UBA mediante la ejecución del programa “OLIGOP”. Basado en un juego con información completa, los resultados obtenidos muestran que luego de varias etapas la performance del mercado “tiende” a aproximase a la predicha por el equilibrio de Nash-Cournot. Este hecho revelaría que dicho equilibrio resulta de un proceso de aprendizaje en agentes cuya capacidad cognoscitiva resulta limitada para asimilar la información instantáneamente.  JEL Campos temáticos: L13 (Mercados Oligopólicos); C92 (Experimentos de laboratorio); C72 (Juegos no cooperativos); D83 (Aprendizaje, información y conocimiento).  (*) Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía y la Gestión; Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires.  Introducción   Gran parte de los modelos económicos se nutren de un abundante formalismo matemático que suple de nexo coordinante entre las ciencias sociales y las exactas. Dentro de este esquema está la microeconomía. Sin embargo en esta última, por tratase de una rama de la economía que no analiza agregados económicos existen mayores grados de libertad para la contrastación empírica. Afortunadamente, la tecnología informática avanzó mucho y lo sigue haciendo en la construcción de programas que animan escenarios de decisión del comportamiento humano. Estos últimos, le permitan al docente - investigador y al alumno coordinarse en torno a cuestionar los llamados “supuestos implícitos” de todo modelo microeconómico. Supuestos, que por cierto tienden a corresponder el instrumental matemático expuesto en el modelo, con lo que se entiende debería de suceder bajo el cumplimiento de los mismos. Quizá uno de los supuestos más cuestionables es el de la “capacidad cognoscitiva instantánea” de los seres humanos. Sobre este aspecto, aún en escenarios donde la información es completa y pública, la capacidad cognoscitiva de los agentes resulta limitada para procesarla y asimilarla instantáneamente. En este trabajo se presenta una aproximación al problema planteado anteriormente mediante el  1 uso del programa “OLIGOP”. Este programa anima el comportamiento de un mercado oligopólico donde los individuos – empresas compiten intertemporalmente a partir de la cantidad del único bien que producen. El modelo teórico responde en su origen a Augustin Cournot (1838) en “Of the Competition of Producers”; quien analiza inicialmente el comportamiento de dos firmas que compiten por la cantidad que han de producir de un mismo bien en un mundo con costos y tecnología simétricos. Si bien su modelo original está planteado para un duopólio, los resultados fueron generalizados en el mismo capitulo para toda estructura de mercado oligopólico que guarde las características de “bien homogéneo y tecnología simétrica”.  La bibliografía referente al estudio de mercados oligopólicos a la “Cournot” utilizando programas informáticos ha sido desarrollada durante el transcurso de estos últimos años. Este trabajo se inspira fundamentalmente en “Rassenti, S.; Reynolds, S.; Smith, V.; Szidarovszky, F. (2000)”, “Huck, S.; Normann, H.; Oechssler, J. (2002)”, y “Huck, S.; Normann, H.; Oechssler, J. (2004)”.  El trabajo se divide en cuatro partes: La primera, en la cual se pasa revista al modelo de Cournot generalizado para más de dos empresas. En la misma, se presentan los resultados consistentes al llamado equilibrio de Nash-Cournot.  En la segunda, se expone el experimento y los parámetros utilizados en la ejecución del programa “OLIGOP” con 56 estudiantes de Microeconomía I de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires – Argentina. En la tercera se presentan los resultados obtenidos; y en la cuarta las conclusiones. .1 El programa fue creado por el Economic Science Laboratory de la Universidad de Arizona.I. El modelo generalizado de Cournot  La idea central del modelo generalizado de Cournot está basada en el supuesto de que un conjunto de firmas compiten simultáneamente en la provisión de un mismo bien bajo una estructura de costos y tecnología simétricos. Todas las firmas se enfrentan a la misma función de demanda (por simplicidad lineal), de forma que la cantidad agregada producida y vendida determina instantáneamente el único equilibrio del mercado. La información respecto a la función de “demanda”; los costos individuales (simétricos); y la tecnología (homogénea) es de conocimiento común entre las empresas. Es decir, todas las firmas saben que se enfrentan a la misma función de demanda; que todas tienen la misma estructura de costos, y que todas tienen la misma tecnología de producción. Adicionalmente, se supone que todas las firmas son racionales y que todas saben que todas son racionales. De acuerdo a lo planteado anteriormente, la estructura analítica del modelo responde a una función de demanda (inversa) definida como:  N1. P Q ( ) = max a bQ − , 0 ; siendo Q = q la cantidad total ofrecida (vendida) por el  [ ] i  ∑ i =  1 conjunto de las “N” firmas que componen el mercado. Por su parte, las funciones de costos de producción individuales son:  2. c q = cq ∀ i , donde por simplicidad se asume que no existen costos fijos. La función de ( ) i i  beneficios de la firma ∈ ≠ queda determinada como:  j N j / i    N −  1     3. . Dado que el objetivo de las firmas es maximizar el  π ( q ) = a − bq − b q − c q  −  N j j i j q j ∑    i =  1 ≠  i j      beneficio, las condiciones de primer orden para la firma “j” determinan su función de mejor respuesta como:  N −  1  − a c  1 4. q q ( ) = − q . j N − j i  ∑ 2 b  2 i =  1  i j ≠  Nótese que con independencia de la firma que se analice; la solución del ejercicio de maximización de beneficios determina un sistema de N ecuaciones simétricas cuyo único resultado es el equilibrio de Nash- Cournot:  ( a − c ) ( a − c )  5. ∀ i j , ∈ N ; q = q = , siendo la cantidad agregada Q : = N  i j b (1 N ) b (1 N ) Si la situación anteriormente descripta se analiza como un escenario donde las firmas interactúan en forma simultanea pero “continua” durante un número determinado de veces, la ecuación 3 ha de plantearse como:    N −  1    6.  , definiendo a “t” como = .  Max π ( q ) = a − bq − b q − c q t 1, 2, 3, 4... T  ( N − j t ) jt it jt { }  q jt ∑     =  i  1  i j ≠      Siendo “T” finito; y en ausencia de un factor de descuento intertemporal; el equilibrio de Nash- Cournot queda definido como un escenario de mejor respuesta en cada etapa-período en la cual las firmas interactúan, es decir:  ( a c ) −  7. .  ∀ i j , , ∈ ∧ ∈ N t T ; q = q =  b (1 N )it jt  Las ecuaciones 6 y 7 plantean un juego repetido en etapas con información completa; en el cual, el único equilibrio de etapa es el propio “equilibrio de Nash- Cournot” determinado en 5. Dado que las firmas conocen perfectamente el modelo, sus estrategias no son más que un plan de acción completo para cada posible acción o estrategias de sus rivales. Este último hecho, sumado al de racionalidad, hace que en cada momento en que las firmas actúan, lo hagan adoptando sus mejores repuestas dadas las de sus rivales, obteniéndose así el equilibrio de Nash Cournot. A simple vista, este resultado es una condición natural asociado a estados de información completa y racionalidad de los agentes-empresas involucrados en el modelo. Sin embargo, la capacidad de recopilación y asimilación de la información crean un espacio abierto respecto a la instantaneidad con el que el mismo se logra. Esta es justamente la cuestión que se tratará en las próximas secciones a partir de un experimento de laboratorio.II. El experimento y sus parámetros  Como se menciono en la introducción, el experimento fue realizado con alumnos de Microeconomía I de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires - Argentina utilizando el programa OLIGOP creado por la Universidad de Arizona. En total se contó con un conjunto de 56 voluntarios, de los cuales se formaron 8 grupos de siete participantes cada uno seleccionados en forma aleatoria. Cabe aclarar, que en su mayoría desconocían la existencia del modelo de Cournot; y quienes lo conocían, solo lo habían leído en forma general en algún curso introductorio en la carrera. A cada participante le fue propuesta la opción de jugar en el programa de animación sabiendo que iba a recibir una cuantía monetaria en base a una escala de 1 peso argentino por cada 1000 unidades monetarias obtenidas en el juego.  Los 8 grupos distribuidos de a pares jugaron durante el transcurso de 4 sábados consecutivos en el gabinete de computación de la facultad. A los 14 participantes de cada par, se los instruyo en forma conjunta respecto al juego y los comandos necesarios que debían utilizar. En todos los casos, se evito el uso intensivo de formalismos matemáticos durante la instrucción. La duración del juego no les fue comunicada a ninguno de ellos; estando vedado todo tipo de comunicación durante el transcurso del mismo.  Siguiendo los supuestos del modelo generalizado de Cournot, los siete participantes - competidores que componían cada mercado (cada grupo) conocían la función de demanda a la cual se enfrentaban. Adicionalmente, por tratarse de un modelo con información completa, cada uno de ellos conocía su función de costos y la de sus rivales. La información que cada competidor tenía respecto a las cantidades vendidas por sus oponentes fue la siguiente: En los grupos 2, 4, 6 y 8; “grupos show” cada participante conocía las cantidades individuales vendidas por sus rivales en los cinco periodos anteriores al que le tocaba jugar. Por su parte, en los grupos 1, 3, 5 y 7; “grupos no show” cada participante conocía las cantidades agregadas (no individuales) vendidas por sus rivales en los cinco periodos anteriores al que le tocaba jugar. Esta diferencia fue impuesta simplemente para probar si la información adicional respecto a “los rivales” genera mayores niveles de competencia. (Fouraker, L., Siegel., 1963); (Rassenti, S.; Reynolds, S.; Smith, V.; Szidarovszky,F. 2000).  Cada etapa del juego finalizaba cuando todos los participantes fijaran las cantidades a vender. Luego de ella, comenzaba la siguiente, en la cual cada participante conocía los beneficios obtenidos en la jugada anterior conjuntamente con el precio y la cantidad negociada (dependiendo esta última de la categoría del grupo que se tratase; esto es, “show” o “no show”). Cabe aclarar, que el programa OLIGOP cuenta con una calculadora personal para cada participante, que le brinda las cantidades óptimas a vender dadas las conjeturas subjetivas sobre las cantidades de sus rivales.  La función de demanda inversa a la cual se enfrentaron todos los grupos fue:  7  = − ; siendo = la cantidad total vendida por el conjunto de las8. P Q ( ) max 100 Q , 0 Q q  t [ t ] t it ∑ i =  1 siete firmas que componían cada grupo (mercado).  La estructura de costos fue: para los “grupos show” y para los  c q ( ) = 32 q c q ( ) = 30 q it it it it  “grupos no show” respectivamente. La duración del juego para los grupos pertenecientes a la  categoría “show” fue de 31 periodos para el 2; 27 para el 4; 31 para el 6 y 32 para el 8. Para los pertenecientes a la categoría “no show”, fue 29 en el 1; 30 en el 3; 29 en el 5 y 29 en el 7. De acuerdo a los parámetros imputados en el programa, los equilibrios de Nash-Cournot del juego etapa son:  7  9. Q q 59.5 q 8.5 , para los grupos pertenecientes a la categoría “show”; y = = ∧ = t it it  ∑ i =  1  7 , para los del “no show”. Los beneficios individuales a  10. Q = q = 61.25 ∧ q =  8.75 t it it  ∑ i =  1 recibir por cada participante (dada la escala fijada) compatibles con el equilibrio del juego de etapa son 7.2/100 pesos argentinos para los ”show” y 7.6/100 para los “no show”. Cabe aclarar, que en todos los casos los participantes comenzaron sin dotación monetaria alguna; y además, aquellos que terminasen con saldo negativo luego de finalizado el juego no debían pagar nada.III. Resultados del experimento  El primer análisis realizado fue estudiar la dinámica de la cantidad agregada a lo largo del juego para cada uno de los grupos. Los siguientes gráficos la presentan:   Grupos “no show” Grupos “show” 160  110  140  100  90  a 120 gada e gad  80  e agr  100  70  agr idad dad nt  80  60  ti a C an C  50  60  40  40  30  5  10  15  20  25  3035 Tim e  5  10  15  20  25  30  35 Time  75  90  70  80  a  65  gad e egada  70  60  agr agr ad  55  60  idad id nt ant a  50 C  C  50  45  40  40  5  10  15  20  25  30  35  5  10  15  20  25  30  35 Time Time  130 160  120 140  110  da  120 100  ada ega  90  reg  100  agr agr  80  80  ad idad id  70  ant ant C  60 C  60  40  50  40  20  5  10  15  20  25  30  35  5  10  15  20  25  30  35 Time Time  180  84 160  80  76 140  da ada  72  g ga e  120  re gr  68  ag  64 100  idad a tidad n nt  60  a a  80 C  C  56  60  52  48  40  5  10  15  20  25  30  35  5  10  15  20  25  30  35 Time Time  Las líneas llenas horizontales inferiores representan las cantidades compatibles (predichas) al equilibrio de Nash-Cournot. Las superiores, las compatibles con un equilibrio Walrasiano (precio igual a costo marginal). Las líneas discontinuas simbolizan el valor medio observado de equilibro del juego de etapa para el total de los periodos jugados. Un rasgo distintivo de todos los grupos es que los valores medios observados se encuentran acotados a los predichos por el equilibrio de Nash – Cournot y los de la competencia perfecta;  2 no observándose en ninguno de los casos comportamientos colusorios. Este hecho respalda los resultados obtenidos por “Huck, S.; Normann, H.; Oechssler, J. (2004)” y “Rassenti, S.; Reynolds, S.; Smith, V.; Szidarovszky, F. (2000)”.  Para un estudio más exhaustivo respecto a la dinámica en las cantidades agregadas; se decidió subdividir cada juego en tres periodos y comparar los comportamientos observados en el primero con los del último. La tabla 1 presenta las cantidades medias observadas para el total del juego conjuntamente con la subdivisión de periodos para cada grupo:  Tabla 1 Total Sample First third Second third Last third 1 Experiment  Deviation Deviation Deviation Deviation Mean Q/Nash Mean Q/Nash Mean Q/Nash Mean Q/Nash  Mean Mean Mean Mean  No Show   1_29 70.97 1.16 0.31 72.70 1.19 0.31 73.30 1.20 0.41 66.44 1.08 0.15 3_30 60.17 0.98 0.12 58.90 0.96 0.18 61.50 1.00 0.08 60.10 0.98 0.08 5_29 71.59 1.17 0.34 89.50 1.46 0.37 63.70 1.04 0.19 60.44 0.99 0.11 7_29 73.14 1.19 0.32 83.20 1.36 0.40 69.40 1.13 0.28 66.11 1.08 0.07  Show   2_31 59.68 1.00 0.30 41.50 0.70 0.24 59.00 0.99 0.08 76.82 1.29 0.17 4_27 64.26 1.08 0.14 64.10 1.08 0.13 65.10 1.09 0.10 63.29 1.06 0.20 6_31 63.26 1.06 0.23 68.40 1.15 0.32 65.00 1.09 0.15 57.00 0.96 0.15 8_32 64.75 1.09 0.14 66.40 1.12 0.15 59.72 1.00 0.12 68.27 1.14 0.11  1 El número después del guión representa el número de etapas jugadas.  2 Por comportamientos colusorios se entiende “colusiones tacitas”. Una forma de colusión tacita puede observarse cuando las cantidades vendidas son significativamente bajas.  Gráfico 1 Diferencia respecto al equilibrio de Nash-Cournot  0,500 0,400 0,300 0,200  ) -1 h 0,100 s  0,000  a0,100  /N  1  3  5  7  2  4  6  80,200  (Q0,300 0,400  First third Grupos  Last third  Nótese que en el 90% de los casos, el coeficiente “cantidad media observada / cantidad de Nash-Cournot” fue significativamente más próximo a uno en el último periodo del juego. Sin embargo, dicha proximidad fue menor en los grupos pertenecientes a la categoría “show”. En estos, el coeficiente tendió a aproximarse más al equilibrio Walrasiano. Este último hecho respalda los resultados de laboratorio acerca de que la mayor información de los rivales induce a una mayor competencia. (Fouraker, L., Siegel., 1963); (Rassenti, S.; Reynolds, S.; Smith, V.; Szidarovszky, F. 2000).  El segundo análisis realizado fue el estudio de las cantidades individuales vendidas por los participantes. Para ello, se decidió construir un índice de igualdad de Theil definido como:  7  1 =  11. H z ( ) z ln , donde z representa la participación en el mercado de la empresa – i i  ∑ z i =  1  i  participante “i” en la etapa “t” del juego. Nótese que el máximo valor de este índice se corresponde con el valor teórico predicho por el equilibrio de Nash-Cournot; esto es:  7  7  1 = = ⇒ =  12. Max H z ( ) z ln ; s a . z 1 H z ( ) 1.95 . i i  ∑ ∑ z i =  1 i =  1  i  Dicho en otros términos; si la cantidad agregada coincide con la predicha por el equilibrio de Nash – Cournot, las cantidades individuales vendidas por las empresas deben ser las mismas En este caso, el coeficiente de igualdad adopta el valor 1.95; lo que equivale a decir que cada firma abastece 1/7 del mercado. Siguiendo este razonamiento, en aquellos grupos donde el coeficiente “cantidad media observada / Nash” fue mas próximo a uno deberían observarse mayores índices de igualdad. Esta conjetura responde a los resultados obtenidos más arriba en razón de no observar conductas colusorias estables en ninguno de los juegos. Los gráficos 2 y 3 presentan la correlación entre la desviación cuadrática media de las cantidades medias observadas respecto al Nash-Cournot, y el índice de igualdad para el primer y tercer periodo del juego respectivamente.  Correlación  3  8  7  4  6  5 Grupos (First third)  H( z ) v s Q /N a sh  Q/Nash H(z)  Gráfico 4 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50  1  3  7  5 Grupos No Show (First third) H( z ) v s Q /N a sh  Q/Nash H(z)  Gráfico 5 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50  5  1  1  7 Grupos No Show (Last third) H( z ) v s Q /N a sh  Q/Nash H(z)  Gráfico 6 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50  2  8  4  6 Grupos Show (First third) H( z ) v s Q /N a s h  Q/Nash H(z)  Gráfico 7 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00  6  4  8  2 Grupos Show (Last third) H( z ) vs Q /N a sh  3  2  2  Correlación  ( / 1) , ( )  0.54 Q Nash H z   − = −    Correlación  2  ( / 1) , ( )  0.91 Q Nash H z   − = −    Nótese que para el primer periodo del juego la correlación fue algo ambigua. Sin embargo, para el último fue consistente con la esperada. La diferencia se debió fundamentalmente al comportamiento del grupo 2 perteneciente a la categoría “show”. En este, todos los participantes comenzaron vendiendo cantidades relativamente bajas y homogéneas lo cual les generaba beneficios altos. Ahora bien, esta situación de “cooperación tacita” no duro más halla del noveno periodo. Para una mejor comprensión del hecho se presentan los gráficos 4, 5, 6 y 7 que desagregan a los 2 y 3 en las categorías “show” y “no show”: Correlación  2  ( / 1) , ( )  0.89 Q Nash H z   − = −    Correlación  2  ( / 1) , ( )  0.92 Q Nash H z   − = −    2  0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50  5  Q/Nash H(z) Gráfico 2  2 Grupos (Last third) H (z ) vs Q /N ash  7  1  8  4  6  ( / 1) , ( )  3  Gráfico 3 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50  ( / 1) , ( ) 0.985 Q Nash H z   − = −    2  Correlación  0.46 Q Nash H z   − =    Q/Nash H(z) Comparando los comportamientos del último periodo del juego con los del primero se aprecia que para los grupos pertenecientes a la categoría “no show” existió una mayor correspondencia respecto a la simetría de las cantidades individuales y la proximidad al equilibrio de Nash- Cournot. Para los grupos pertenecientes a la categoría “show” la diferencia fue aun más notoria. En el primer periodo del juego el máximo nivel de simetría correspondió a la mínima cercanía al  3 equilibrio de Nash- Cournot (grupo 2). He de aquí el anómalo signo del coeficiente de correlación. Por el contrario, en el último periodo del juego el máximo nivel de simetría correspondió al mercado cuya performance fue más próxima al Nash-Cournot, mientras que el mínimo a la más alejada.  Las tablas 2, 3, 4 y 5 incluidas en el apéndice presentan un análisis detallado sobre las cantidades individuales.  Conclusiones   En este trabajo se ha analizado el comportamiento de siete individuos que componían un mercado oligopólico de características Cournotianas. Luego de 8 repeticiones en grupos diferentes, los resultados obtenidos no difirieren significativamente de anteriores experimentos – “en términos de que el equilibrio de Nash-Cournot no surge como un proceso espontáneo tal como se presenta en los libros de texto”- . No obstante, el rasgo distintivo del presente trabajo está en la dinámica de las cantidades agregadas. A diferencia de “Rassenti, S.; Reynolds, S.; Smith, V.; Szidarovszky, F. (2000)”, y “Huck, S.; Normann, H.; Oechssler, J. (2004)”, la performance de los mercados en los últimos periodos del juego fue significativamente más próxima a la predicha por la teoría. Sobre este último aspecto, siete de los ocho grupos presentaron un notorio proceso de aprendizaje durante el transcurso del juego. Cabe aclarar sin embargo, que los coeficientes de variabilidad han sido en su mayoría significativamente altos. La causa presumiblemente ha de estar en los bajos incentivos monetarios y en la ausencia de capital inicial. Estos últimos, hacen que en una situación de statu quo la tentación a incrementar la cantidad vendida por los jugadores sea alta. Finalmente, el análisis de las cantidades individuales ha demostrado que en las últimas etapas del juego la proximidad al equilibrio de Nash-Cournot en términos agregados fue consistente con equilibrios individuales más simétricos. Sobre esta cuestión no existen estudios preliminares que permitan comparar los resultados.3 Por el contrario y de acuerdo a lo esperado, el mínimo nivel de simetría correspondió a la máxima lejanía del equilibrio de Nash- Cournot.

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