UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

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  UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS   ASIGNATURA: CÀLCULO DIFERENCIAL FUNCIONES   UNIDAD TEMÁTICA  COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Analizar  las diferentes clases de Analiza función real de una variable, sus comportamientos y  funciones, la interpretación de discrepancias mediante procedimientos analíticos y gráficos. gráficas y su aplicación el área de Obtiene nuevas funciones a partir de otras funciones dadas.  desempeño.    Utiliza las funciones para resolver problemas de aplicación en diferentes contextos.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE  Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.  ACTIVIDAD 1:   En cada una de las siguientes funciones: halle el dominio, el rango y las intersecciones con los ejes, además trace sus gráficas.  a.  b.  c.  d.  e.  f.  g.  h. i. j.  ACTIVIDAD 2:   Trace las gráficas de las siguientes funciones y a partir de ella obtenga el dominio, rango y las intersecciones con los ejes. 2 2     x si    2 x  1  x si     1 x 1   x 1 si    1 x  1     2  a. h x ( )  3 x si 1   x  4  b. g x ( )  x  2 si 1   x  3  c. f x ( )   x si 1   x  2         5 2 x si x   4  1  x   1 si x   3      si x   2  x   12 ACTIVIDAD 3:  A partir de la función f(x)=x , realice movimientos en el plano para obtener la gráfica de:   2  2  2  a. f x ( )   ( x 4) 2  b. g x ( )  x   3 2  c. h x ( )   4 x  d. j x ( )   1 x   3  e. p x ( )    3 1 x  1 ACTIVIDAD 4: Dada la función f(x), relacione el número de la gráfica con la expresión correspondiente. y = f(x-4) ________ y = f(x)+3 _________   1  y = f(x) _________   3  y = - f(x+4) __________ y = 2f(x+6) _________ ACTIVIDAD 5:   A la función y  x se le han aplicado movimientos en el plano cartesiano. Escriba debajo de cada gráfica la ecuación correspondiente:   1 STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.  ACTIVIDAD 6:   Sea f (x ) una función impar, cuyo dominio es: [-5,5]. Complete su gráfica:   ACTIVIDAD 7:   Señale cuál de las siguientes gráficas representa una función impar. (justifique la respuesta)   ACTIVIDAD 8: Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. f x ( )  sen x ( ) tan( ) x _______ g x ( )   1  x _______  h x ( )    x x  1 _______  x j x ( )  _______ 2 x 1 ACTIVIDAD 9: Encuentre f  g , f  g , f  g , f g y determine sus dominios.    1  2 a. f ( x )   2 x  3 x  4 , g ( x )   x x   1 b.   f ( x )  , g ( x )  x   2  x  3 c. f ( x )  sen x , g ( x )  x   1  1  2 d . f ( x )  , g ( x )  x  3   x  2 ACTIVIDAD 10:   Dadas las funciones f x ( )  x  16 , g x ( )  x es correcto afirmar que: (Marque su única respuesta encerrando en un círculo la correspondiente letra).  a ) ( f g x )( )   x  16 y Dom f ( g )    b ) ( f g x )( )   x 2 16 y Dom f ( g ) [0,   ) c ) ( f g x )( )  x   4 y Dom f ( g )   ) ( )( ) 4 ( ) [4, )  d f g x  x  y Dom f g   ACTIVIDAD 11: Para cada una de las siguientes funciones determine dos funciones f y f tal que f  f f . 1 2 1  2 Halle el dominio de cada función, compruebe que al hacer la composición obtiene la función dada y halle el domino de la función obtenida al realizar la compuesta:   3 2 x a.   f ( x )  sen( x   2 ) ( )   f x  c. f ( x )  b.   x   3 5 x   2  2 ACTIVIDAD 12: En las preguntas a y b, usted debe completar la información que hace falta en cada caso. 2 a.   Sean f ( x )  x g ( x )  x  3 y h ( x )  __________ _____  K x ( )  ( f g h x )( )  f g h x ( ( ( )))  f g x ( ( ))  f ( _____________ )    x ________________, si x   3 b.   El dominio de K es: _________________________     1 ACTIVIDAD 13: Encuentre la función inversa f en su forma explícita.   1 2 x   1 a . f ( x )  x 7   3  b. f ( x )   c. f ( x )  2  x  x  1    1 ACTIVIDAD 14: f ( x )  x  3   2 Pruebe si la función es inyectiva. Halle f y la función . Qué puede concluir  f  1    1  acerca de f y ?  f  2 PURCELL, Edwin. Cálculo, México, Segunda edición, Prentice hall, 1993.  ACTIVIDAD 15:   Aparee las funciones de la columna de la izquierda con sus inversas de la derecha, colocando el número correspondiente.  1 2 1. f x ( )  ____ ( ) m x  x x ,   x  1 2  x 2. ( ) g x  ln( x  5) ____ ( ) r x   x   1 3  1 3. ( ) h x  x ____ ( ) t x   x x   1 x 4. ( ) j x  ____ ( ) s x   e  5  x   2 3 5. ( ) k x  x ____ ( ) n x  x  ACTIVIDAD 16:   Sea y  x    2 3 halle su dominio, compruebe que es uno a uno, halle su inversa y el dominio de la inversa, obtenga la gráfica de la función y de su inversa en el mismo plano coordenado.  ACTIVIDAD 17: Resuelva las siguientes situaciones de aplicación.  1. La siguiente gráfica da el peso de una persona como función de su edad. Describa con palabras la forma en que el peso de está ha variado a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa que ocurrió cuando esta persona 3 tenía 30 años?  3 STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.2. La gráfica muestra la aceleración vertical del suelo causada por el terremoto de Northridge de 1994 en Los  Ángeles, medido por un sismógrafo. (Aquí t representa el tiempo en segundos.)  a. ¿En qué momento t empezó el terremoto a crear por primera vez movimientos notables en el suelo?  b. ¿En qué momento t pareció terminar el terremoto?  4  c. ¿En qué momento t se alcanzó la intensidad máxima del terremoto?  3. La siguiente gráfica tiene que ver con el llenado de un recipiente (variable independiente la altura del líquido, y variable dependiente el volumen), la forma del recipiente que cumple con las características del fenómeno representado es (Justifique su respuesta). a. Realice las representaciones gráficas de los recipientes faltantes (del Volumen en función de la altura de forma aproximada).  3 4. Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 cm tiene una base cuadrada.  a. Exprese la altura h de la caja en función del lado x de la base.  b. Halle la altura de la caja si el lado de la base mide 5 cm.  c. Halle el lado de la base si la altura de la caja mide 5 cm.  d. ¿Cómo varía la altura de la caja a medida que aumenta la longitud de la base de la caja? ¿Cómo demostrarías que es cierta su respuesta? e. Exprese el área de la superficie A como una función de la longitud x de un lado de la base. 4 f. Encuentre el área si la longitud x del lado de la base es 5cm.  STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.  2g. Si el área es 12cm ¿cuánto mide la longitud de un lado de la base?5. Un granjero tiene 240 metros de cerca y desea cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cerca a lo largo del río.  a. Exprese el largo (y) de la cerca en función de su ancho (x).  b. Exprese el área del campo en función del ancho (x) del mismo.  c. Realice la gráfica del área en función de su ancho (x), encuentre el dominio y el rango de esta función.  d. Describa el comportamiento del área a medida que aumenta el ancho (x).  e. ¿A cuánto equivale el área máxima? ¿con qué ancho se consigue esta área? Obtenga estos resultados a partir de la gráfica.6. Un rectángulo está inscrito en un triángulo equilátero con un perímetro de 30cm como se observa en la figura.  a. exprese el área del rectángulo como una función de la longitud x mostrada en la figura.  b. Realice la gráfica del área en función de la longitud (x), encuentre el dominio y el rango de esta función.  c. Determine a partir de la gráfica de la función de área las dimensiones del rectángulo que tenga el área  5 más grande.  7. El comportamiento de la corriente en un alambre conductor cuya corriente en función del tiempo está dada por . Determinar a. El dominio y el rango de la corriente.  b. Determinar si la función es par o impar.  c. Dibujar el comportamiento de la corriente en función del tiempo.5 STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.8. Un tramo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas. Una de longitud x se dobla para formar un cuadrado, y la otra se dobla para formar un triángulo equilátero.  a. Exprese el área total encerrada por ambas figuras como una función de x.  b. Realice la gráfica del área en función de la longitud (x), encuentre el dominio y el rango de esta función.  6 c. Describa el comportamiento del área a medida que aumenta la longitud x.  EVALUACIÓN 1. En la siguiente función determine: su dominio, rango, las intersecciones con los ejes, la respectiva gráfica, si es par, impar o ninguna.  2   1 x si    1 x  1   f x ( )    2 si 1   x  2     x  3 si 2   x  3   1  1  2  2. Dadas las funciones f ( x )  , g ( x )  x  1 entonces g ( f ( )) es:  x  2  1  1  1 A.  B.  C. -  D. 1  2  2  2 3. Un rectángulo está inscrito dentro de un semicírculo de radio r, como se ve en l figura.a) Exprese el área A del rectángulo como una función de la altura h del mismo.  7 b) Describa el comportamiento del área a medida que aumenta la altura (x).  BIBLIOGRAFÍA  Apuntes docentes Cálculo Diferencial Uts, 2014.   LARSON /HOSTETLER, Algebra, México, Mc Graw Hill, 1999.  da   ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometría, México, Mc. Graw Hill, 2 Edición, 1996  ta   STEWART, James. Cálculo Conceptos y Aplicaciones, México, Thomson, 6 Edición, 2008.  na   PURCELL, Edwin J. Cálculo con Geometría Analítica, México, Pearson- Prentice Hall, 9 Edición, 2007.  LARSON, Ron. Cálculo, México, MC Graw Hill.  ra 6  STEWART, James. Precálculo, México, Thomson, 3 Edición, 2001. 7 STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.  STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.

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