TEORÍA DE NÚMEROS GRADO EN MATEMÁTICAS

0
0
116
9 months ago
Preview
Full text
99 MANUALES UEX PEDRO SANCHO DE SALAS  Anillos de curvas y anillos de enteros . Producto de valores absolutos de una función . 4. Teoremas de la Teoría de Números  Dado un anillo de números enteros, A, existe un número finito defracciones a /b (raíces de polinomios mónicos con coeficientes en Z ) de modo que n n B : A [a /b ,..., a /b ] ya es casi un dominio de factorización única: todo ideal de B = 1 1 n n (principal o no) es igual a un producto de ideales primos de modo único. Para el estudio de un anillo de números enteros A (como para el estudio de las ecua- ciones diofánticas), conviene estudiar A/pA para todo primo p, es decir, conviene hacer Para el estudio de un anillo de números enteros A (y la clasificación de estos ani- llos) se introducen el discriminante de A, el grupo Pic(A) y el grupo de los invertiblesde A. 1.1. Introducción Veamos algunos ejemplos y problemas clásicos de la teoría de números  Lo cual era evidente, pero ahora sabremos calcular n y m: 2 10 1 8 10 1 (128 12 10) 128 13 10 128 13(138 128) = − · + = − · − + · = − · = − − = 13 138 14 128 13 138 14(266 138) 14 266 27 138 14 266 27(2000 7 · · = + − · − − · + = − · = − · − · 266) 27 2000 203 266. · · = i j i j =′ −1 ′ C x B bEntonces, si denotamos x : y b : , = · = ·′ ′ ′ x B C x B A x B b b(d ) (a ) i j · = · i j · · = · · = · = ′ Sistema que sencillo de resolver y acabamos porque x C x . 3. El anillo de los enteros de Gauss, Z a bi  Entonces, z , con δ= − < δ Veamos que un número primo p descompone en suma de dos cuadrados perfec- ∈ Z 2 2 = = · − + +′ ′ a b bi bi tos si y sólo si p no es irreducible en Z [i]: Si p entonces p (a ) (a ) y p no es irreducible en Z [i]. Recíprocamente, si p z z , con z , z [i] y no invertibles, = · ∈ Z 2 ′ ′ entonces p (p) (z) (z ), luego p (z) (z ) (si δ (z) 1, entonces z sería uno = δ = δ · δ = δ = δ = 2 2 de los invertibles 1 , i ), luego p a b (donde z a bi ). 2 Por tanto  Kummer, para probar el teorema de Fermat, es decir, para demostrar que la ecua- n n n ción x y z no tiene soluciones enteras (x , y , 0) hizo la descomposición = +n n n 1 n x z y y y(z ) (z ) , = − = − ξ ··· − ξ Pi i a siendo ξ una raíz primitiva n-ésima de la unidad y trabajó con los números ξ , a . Dedekind observó que lo que estaba definiendo Kummer era el concepto de ideal (recordemos que en los dominios de idea-les principales (a ,..., a ) (m .c.d.(a ,..., a )), el concepto de ideal primo y que había 1 n n 1 = probado que en tales anillos (dominios de Dedekind) todo ideal es producto de ideales primos. 12. Teorema de descomposición en factores irreducibles: Todo elemento propio  que ha de ser finita por ⊂ , , , 1 ⊂ 2 ⊂ noetherianidad y terminará cuando a sea irreducible.n a bAhora ya, sea a irreducible que divide a a y escribamos a . Si b no es 1 1 1 1= · irreducible sea a irreducible, que divide a b y escribamos a a b a a b . 1.3. Dominios de factorización única  Definición : Se dice que un anillo íntegro, A, es un dominio de factorización única si todo elemento propio de A es igual a un producto de irreducibles de modo único, salvo factores por invertibles y orden. Si P(x) = 1 · 2 P A (x) , P (x) 1 2∈ [x], entonces como P(x) es irreducible en Σ[x], uno de los dos polinomios P (x) o P (x) ha de ser de grado cero, digamos P (x) a . 6. Teorema (Gauss): Si A es un dominio de factorización única, entonces A[x] tam- bién lo es  i (x) es irreducible en A[x] porque lo es en Σ[x] y por el teorema • p pDescomponiendo a en producto de irreducibles en A, se obtiene una des- 1 s= ··· composición deP (x) a Q (x) u p p Q (x) Q (x) = · = · 1 ··· s 1 ··· r en A[x]. Tachando los términos polinómicos comunes se obtiene, i salvo invertibles de A, la igualdad q q p p , de donde salvo permutación de 1 ··· l = 1 ··· s i i= p los factores es q (salvo invertibles de A). 1.4. Dominios de ideales principales  Si a no es invertible, entonces (a) (a ), porque si son iguales 1 = · = − = − = a b a tba tb tb y a , luego (1 )a 0 y como 1 es invertible a 0 y llegamos a con- 2 1 1 2 2 2= · = · t a t a tradicción. = ·n i t gDado un ideal I (f ,..., f ), tenemos que f , con g invertible, luego I 1 r i i i= = · =n n r n { } = iO 1 (t ,..., t ) (t ), donde n es el mínimo de los n . 7. Corolario: Sea un anillo local noetheriano de dimensión de Krull mayor que cero  O y sea m su ideal maximal. Entonces, es un dominio de ideales principales si y sólo si 2 dim O m /m 1. 2 O Demostración  Si m/m 0 entonces m 0, por el lema de Nakayama; luego sería un = = 2 cuerpo lo cual es contradictorio con las hipótesis. Por tanto, dim O m /m 1 si y sólo /m = si m es principal, por el lema de Nakayama. 1.5. Dominios de Dedekind  Por tanto, 1 n i i i i j i j= i − α i j − α − α · + + ∂x i p p ∂ ∂ d p x x(x ,..., x ) ( )d ( )d α 1 n α α 1 α α n= + ··· + x x ∂ ∂1 n 2 αα i = i − α i α d x x y m /m es un k-espacio vectorial de base { } . Por tanto, m m m y x y y y y x1 ··· r = 1 ··· r ⊆ m B m m B m B y y = y ··· y y ⊆ x y i i1 r i i Como m B m , entonces m B m B .x · ⊆ y x · y = y · y i i i i 14. 2 Z [ 5] [x]/(x 5) y x 5 es separable módulo p, para todo primo p salvo p= Z − −= 2 2 2 y p 5. Observemos que Spec Z [x]/(2 , x 5) Spec Z [x]/(2 ,(x 1) ) (¯2 , x 1) } y 22 Spec Z [x]/(5 , x 5) Spec Z [x]/(5 , x ) (¯5 , ¯x) } . Para m ( , x 1), tenemos que  = 2 2 2 d d(x 5) ((x 1) 2(x 1) 2 ) , y y− = − − = + + 2 luego y es singular. Para m (5 , x), tenemos que d (x 5) d (5) , 0, luego y es no y = y − = − yp p singular. 15. Ejemplo : Sea ξ una raíz primitiva m-ésima de la unidad. Veamos  El polinomio ξmn = n n p mínimo anulador de ξ (x), que divide a x 1, es separable módulo todo primo p p , Φ − n q , p . Por tanto, si m [ ], cumple que m (q), tenemos que m [ ] (q), y ξ m y y ξ p y⊂ Z ∩Z = ·Z = n n Z Z para q , p. 1.6. Anillos de curvas y anillos de enteros  Dado un morfismo de anillos A se dice que B es una → A -álgebra. Usualmente seguiremos la notación (abusiva) A B , a a . 2. Ejemplo : R [x , y] es una R -álgebra de modo natural  Por los teoremas de los ceros 1 n 1 1 n r 1 n= C de Hilbert sabemos que n{ ( ,..., ) : p ( ,..., ) p ( ,..., ) Spec B α α n α α n r α α n1 ∈ C 1 1 = ··· = 1 = } = max ( α ,..., α ) ( ¯x ,..., ¯x ) 1 n 7→ 1 − α 1 n − α n 3. A A [ ,..., ] es un ξ ξ→ 1 n morfismo finito si y sólo si ξ ,..., ξ son enteros sobre A (es decir, existen polinomios 1 n mónicos con coeficientes en A, p (x), tales que p ( ) 0).i i ξ i = Si Spec A es una curva íntegra afín por el lema de normalización de Noether existeA . 1.7. Desingularización  Dado un morfismo de anillos A B , el conjunto de elementos → de B enteros sobre A, es una A-subálgebra de B, entera sobre A, y se dice que es el cierre entero de A en B. Si el cierre entero deA A A en su cuerpo de fracciones, ¯ , es un anillo noetheriano entonces ¯ es un dominio de Dedekind y se dice que Spec ¯ A es la desingularización de Spec A y que Spec ¯ A Spec A → es el morfismo de desingularización. 1.8. Finitud del morfismo de desingularización1. Lema : Sea A un anillo noetheriano íntegro e íntegramente cerrado en su cuerpo de  y yy · −= + = Observemos que n1 n 1 − − 2 2 2 y − = + y − · + − · = − y = d (x n ) d ((x 1) 2 (x 1) 2 ) ( )d 2 2 Anillos de enteros 1.9. Ahora bien, recordemos que vía el isomorfismo K a = a ⊗⊗ k Σ = Σ × ··· × Σ,n ah 1 (g (a) ,..., g (a)), luego la matriz de h 1 1 n a Σ ⊗ = ⊗ = a⊗1 en la base estándar de Σ × ···× es la matriz diagonal de coeficientes g (a). 1.11. Biografía de Dedekind DEDEKIND BIOGRAPHY  In it he wrote: Now, in each case when there is a cut (A , A ) which is not produced by any rational 1 2 number, then we create a new, irrational number a, which we regard as completely defined by this cut; we will say that this number a corresponds to this cut, or that itproduces this cut. presented a logical theory of number and of complete induction, presented his principal conception of the essence of arithmetic, and dealt with the role of the com-plete system of real numbers in geometry in the problem of the continuity of space. 1.12. Problemas 1. Probar que el número de números primos es infinito  Probar que el número de números primos de la forma 4n 1 para algún n es Z Resolución: Un primo p no es primo en [i] si y sólo si p 4n 1 ó p 2. Tenemos que p = { 1 = 2 n i = zq ¯z , donde z , ¯z son irreducibles de Z [i] . 2 Resolución: A [x .y]/(x 1) es un anillo íntegro de dimensión de Krull  ProblemasAnillos de enteros 2 2 que N(z) c (para algún c ) si y sólo si existe u [i] de modo que z u (o = ∈ Z ∈ Z = 2 2 2 2 2 z iu u u ): Obviamente si z , entonces N(z) ¯u (u ¯u) , donde u ¯u . Por el 2 2 2 2 = − = a b problema anterior existe a , b de modo que x , y 2ab (permutando x 2 2 2 2 por y si es necesario) y z = = ca z verifica una ecuación como la de z llegamos a contradicción, porque c . 2 Tenemos que x b  Si , entonces as s a a s , luego a a b (ó a a b ) ó s a b = · 1 2 = 1 2 1 = · 2 = · = · s s s 1 2a a a a a a bs bs 2 2 2 (luego es invertible). Consideremos el epimorfismo de paso al = { 1 n cociente 2 2 A p p A A Aπ : A /p /p /p /p → x ··· x = × x × ··· × xx 2 n x 2 n 1 1 2 A Sea f p \ p y f tal que (f ) ( ¯f , ¯1,..., ¯1). 2 Además, p ( ,(x 1) ,(x 1)) (4 ,(x 1) 6 ,(x 1)) ()  Pro- = bar que y/x es entero sobre el anillo ( C [x , y]/(p(x, y))) , y que q (y) ( C [x , y]/(p(x, y)))[y/x] [x , y/x]/(r(x, y/x)), = Ck · = r p donde x (x , y/x) (x , y). Además, si escribimos p(x, y) = C=k ′ ′ k−1 y q x p(y) (x , y), podemos escribir p (x , y)/x como un polinomio en y/x de −k ′ k−1 r q p como 0 (x , y/x) (y/x) (y) (x , y)/x , tenemos que y/x es entero sobre = + = ( C [x , y]/(p(x, y))) .q (y) 2 3 4 − = + y x 19. 1 A  El estudio de la fibra del punto ∈ Q cerrado p de Spec Z (m (p)) es el estudio de F [x]/(p(x)) (que equivale al es estudio p = p de p(x) [x]). El grupo de Galois de p(x) [x] es un ∈ F p∈ F p grupo elemental, pues es un grupo cíclico generado por el automorfismo de Fröbenius p F , donde F(a) : a , para todo a. 2.2. Longitud de un módulo  Usualmente, se define la dimensión de un espacio vectorial, como el número de vectores de sus bases. El concepto de base de un espacio vectorial es elaborado, si bienes muy práctico. 3 Si intuimos que R es de dimensión es porque observamos la cadena de inclusio-  Sigamos, M contiene estrictamente a M y está 1 1 2 1 1∩ = ∩ ∩ = incluido en M luego M N M Recurrentemente, N M N M M , lo que es 2 2 ∩ = 2 = n ∩ = n = contradictorio. Sea l(N) y l(M/N) , = = entonces existe una cadena irrefinable de submódulos de 0 a N de longitud n y existe una cadena irrefinable de submódulos de N a M de longitud m, es decir, tenemos unacadena irrefinable de submódulos de 0 a M de longitud n 6. 2.3. Multiplicidades y grados en dimensión cero  , xSi x , (A ) 0, porque Spec(A ) , pues es igual al conjunto i j x x x x i j = i j = ; de los ideales primos de A contenido en m y m . Por x x x x = x i j i i i n tanto, el morfismo A A A es un isomorfismo porque al localizar en todos → x × ··· × x n 1 los puntos de Spec A es un isomorfismo. 2. Definición : Sea A una k-álgebra finita, sea Y Spec A, que es un número finito  Proposición : Se cumple que X Número de puntos de Y contando grados y multiplicidades m (Y ) gr y = y ·y∈Y Q P Demostración. En efecto, A A , luego dim A dim A dim (A/m ) = y k = k y = k y ·y∈Y y∈Y A y l (A ). 2.4. Fibras de un morfismo finito  Llamaremos número de puntos de (x) a dim B /m B , multiplici- πA /m x x −1 −1 y B x y∈ π = l B dad con la que aparece y (x) en π (x) a m : ((B/m ) ), y grado de y sobre x a gr y : dim B /m . Por tanto, x = A /m x y X−1 m yNúmero de puntos de π (x) contando grados y multiplicidades gr = y · −1 x(x) y∈π 2 1. 2 R x R  π : Spec [x , y]/(y ) Spec [x] , ( α , β )− → 7→ α el morfismo inducido. Dado un punto racional Spec R [x], calcular el número de α ∈ puntos de las fibras, las multiplicidades y grados de los puntos de las fibras de . 2. Proposición : Sea A , →  Si tensamos los términos de la igualdad B A por A /m , x = Σ Bx = x ⊗ A x Σ A obtenemos n x B /m B (A/m ) x = x Por tanto, el número de puntos de la fibra de x, contando grados y multiplicidades, es igual a n dim . π Se cumple que no ramifica en y si y sólo si B /m B B /m y B/m B es una πy x y = y y A/m -extensión separable, es decir, si y sólo si la multiplicidad de y en la fibra de x es x 1, y B/m B es una A/m -extensión separable.y x B B AObservemos que si π no ramifica en y, entonces m m , luego si m es x y y y x x= principal entonces m B también lo es.y y A[x] 7. 11. Ejercicio : Sea : C [x , y]/(y x ) [x , y]/(y x ) el automorfismo de C -álgebras  − = { = BRecordemos que dado un ideal primo p , denotamos el cuerpo residual de y, y⊂ (B /p B ) : k(y) y dado b B denotamos b(y) : ¯b k (y).y y y = ∈ = ∈ Sea g : B B un automorfismo, y SpecB. Te- θ= ∈ = θ i = i Q G y= − ∈ ⊂ =g∈G g B B nemos que P(X ) : (X (b)) [X ] [X ] y módulo m , tenemos que P(X ) Q|G|−|D| (X ¯g( )) X k (x)[X ] es un polinomio que anula a y todas sus raíces θθ − · ∈g∈D están en k(y). 2.5. Automorfismo de Fröbenius  En | | =−n conclusión, existe un único cuerpo (salvo isomorfismos) de orden p , que coincide con n p − p n n n p x F el conjunto de todas las raíces de x y es un -extensión de Galois de grado n, p p p→ F = a que denotaremos F . Es más, si m n , F es una F n n m - F p = ⟨ ⟩ ≤ p p p −al g m ⟨ ⟩ F extensión de Galois de grupo de Galois . 1. Teorema : Sea A un anillo de enteros tal que su cuerpo de fracciones Σ  El automorfismo de Fröbenius, F, de A está inducido por algún(p) m /m yy = ∩ Z automorfismo F G de A, y éste es único cuando A /pA es reducida (es decir, el mor- p ∈ fismo no ramifica en y), en este caso se dice que F es el automorfismoSpec A Spec Z p→ en el primo p. Sea D : : g(y) } , por y= { ∈ = el teorema 2.4.13 , el morfismo D Aut A /m F es epiyectivo, luego F está→ Z y = ⟨ ⟩ /pZ−al g p∈ · los puntos de la fibra de p (que son G /D ) tienen la misma multiplicidad y grado. 2. Observaciones :  F , es el automorfismo de A que deja estable m , p : Σ A → Σ Ay p p y= ∈ a A determinado por la condición F (a) m´od m , para todo a . Si ¯ A , entonces A A , A/pA A /p ¯ A A y y es el cierre entero de A en Σ i = i = en p no depende del anillo A considerado. 4. Sea Σ ⊂ Σ A el anillo de enteros de Σ  Además, el automorfismo de Fröbenius, F p de Σ A ′ ′ 1 y en p, induce en Σ ⊆ A un automorfismo, que sobre A /m /m es el automorfismo 1′ en p es igual a F . Consideremos el α i j primos p que no dividan al discriminante ∆ = − α ∈ Z i< j = Z 1 n ⊂ = Z /p Z [ ¯ ,..., ¯ ] es el cuerpo de descomposición de q(x) /p Z [x]. 3. Definición : Sea q(x) (x ) (x ) [x] un polinomio separable. Dado un  = − α 1 ··· − α n ∈ Z primo p , tal que q(x) /p Z [x] es separable, llamaremos automorfismo de Fröbe- ∈ Z ∈ Z nius en p de q(x) al automorfismo de Fröbenius, F del cuerpo de descomposición de p q(x). Es decir, F es la permutación de α ,..., α tal que la correspodiente permutación p 1 n de ¯ ,..., ¯ coincida con el morfismo elevar a p. 2.6. Aplicaciones  Para cada número natural n, existe un polinomio p(x) [x] de grado n cuyo ∈ Q grupo de Galois es S : Sea q (x) un polinomio irreducible de grado n con coe- n 2 ficientes en Z /2 Z , sea q (x) un polinomio de grado n separable con coeficientes 3 en Z /3 Z que contenga una raíz en Z /3 Z y un factor irreducible de grado n 1, y − sea q (x) un polinomio separable de grado n con coeficientes en Z /5 Z que admita 5 n 2 raíces y tenga un factor irreducible de grado dos. Escri- ∈ Z − ∈ F q biremos (el símbolo de Legendre) ½ 2 na 1 , si n es un resto cuadrático módulo q ( ¯n , para cierto a ) = ∈ F q ( ) : = 1 , en otro caso q −q−1n ∗2 (q−1)/2 ∗ 1 . 2 Q [ ˜q], donde ˜q ( 1) q . Luego, ¯p si y sólo si F es la identidad sobre= − · ∈ F pq K .2 Supongamos que p , , entonces x ˜q módulo p es separable. El automorfismo  Sea : R [x , y]/(y x ) [x , y]/(y x ) el automorfismo de R -álgebras definido por τ− → R − y x τ (y) y τ (x) y sea G Id , τ} . Consideremos el morfismo= − = = { G 2 2 x x π : Spec R [x , y]/(y ) Spec( R [x , y]/(y )) Spec R [x]− → − = 2 R x Calcular los puntos de ramificación de π . 2.8. Biografía de Fröbenius FRÖBENIUS BIOGRAPHY  = = A n ¡ ¢dim A /m n n k n+1n Resolución: l (A/m ) l (A/m ) , pues el conjunto de los A = A /m = = dim A /mk 2 polinomios en dos variables de grado menor que n es un espacio vectorial de ¡ ¢n+1 dimensión . Una consecuencia inmediata es el teorema deBézout, que dice que el número de puntos de corte de dos curvas planas proyectivas de grados n y m, sin componentes comunes, contando multiplicidades de corte y gradosde los puntos de corte, es igual a n m . 1. Definición : Sea Σ un cuerpo y Σ = Σ . Una valoración real de Σ es una apli-  Proposición : Sea Σ un cuerpo y v: Σ → RO : f } .v = { ∈ Σ : v(f ) ≥ O Entonces es un anillo local de ideal maximal p f } , cuyos invertibles v v= { ∈ Σ : v(f ) > ∗O son f K : v(f ) } = { ∈ = y de cuerpo de fracciones Σ.v O Si v es discreta entonces es un dominio de ideales principales de dimensión de v Krull v . > Si v es discreta, p (t), para cualquier t tal que v(t) 1: Dado f p , entonces v = = ∈ v n n n nO v (f ) n 0 y v(f /t ) 0, luego f /t es un invertible de y f (f /t ) t . 6. Proposición : Sea Σ un cuerpo y v,v : Σ → R  Podemos suponer que v(f ) v v v∈ = = Σ implica v = = =n n ′ ′ ∗ ′ v (f ). Entonces, ∈ Σ = { ∈ Q − ≥m m n n n ′ ′m C : mv(f ) nv (f ) : v(f /f ) } = { ∈ Q − ≥ } = { ∈ Q ≥ m m n n ′m : f /f } v= { ∈ Q ∈ O m n n ′ ′ ′ ′ ′ v CLuego, si definimos C : v (f ) (f ) } , tendremos que C y esto im- = { ∈ Q − ≥ =m m ′ ′ ′ ′ plica que v(f ) v (f ), luego v v . 3.3. Anillos de valoración y cierre entero  Entonces a (c a c ), luego nv(a) ∈ O 1 +···+ = = − 1 +···+ =n n−1 v ´ınf v a ´ınf (a ) { (c ) ,..., v(c ) { (n 1)v(a) ,...,0 } , luego v(a) 0 y a . contiene a A si yObservemos sólo que un anillo de valoración de Σ ′ ′ ′ sólo si contiene a A, y que el cierre entero de A es A . 6. Teorema : Sea K un cuerpo de números y A el anillo de enteros de K. Se cumple  Por v x v x v x v x∩ ⊆ O = = {7→ x A tanto, Spec A Conjunto de anillos de valoración de K } , x y todos los anillos de = ∩ x∈Spec A A valoración de K son discretos (salvo el trivial). Ejercicio : Sea A [x , y]/(y x : (x , y) = C − ), Σ el cuerpo de fracciones de A y p (0,0) = ⊂¯x+ ¯y (0,0) 2¯xp 11. 3.3.1. Variedad de Riemann  Veamos el número de puntos de la fibra del 0 Spec k[x] ∈ ⊂ Pe e n 1 (p (x)): La x en A es f , (f ) m m , donde { x ,..., x } son los puntos de la fibra = = x ··· x 1 n1 n i x xi = i = ∈ v U de 0 y e (f ) (y v (f ) 0, para todo x distinto de los x ). El número de ceros de q(x , y) en C, contando grados y multiplicidades, ∈ es igual a dim k [x , y]((p(x, y), q(x, y)); y el número de polos de q(x, y) en C, contando km grados y multiplicidades, es igual al número de ceros de (x /x ) , que son m veces el 1 número de puntos de corte de C con la recta { x } . 3.4. Valores absolutos  La aplicación : : , : es un valor absoluto.p p Todo anillo A con un valor absoluto es un espacio métrico, es decir, un espacio con ||′ ′ ′ = | − | ∈ Por tanto, A , es un espacio topológico.|| a a A una distancia (o "métrica"): Se define la distancia d(a , a ) : , para todo a , a . Observemos que | | n ¯ ¯m n n n x ¯ x ¯ x | | ¯ ¯ 1 1 B (0 ,1) < α ⇐⇒ < ⇐⇒ ⇐⇒ ∈ ¯ m ¯ < m m y y y | |′ ′ ′α ′ y x xPor tanto, si es equivalente a , tenemos que . 3.4.1. Valores absolutos arquimedianos  Así sucesiva- | | = | | ≤ | | + | | = = | | · | | = | | ≤ | | + | | = mente, obtenemos que es el valor absoluto usual sobre N , luego lo es sobre Q . El || = Q 1 n ˆK subcuerpo R (a ,..., a ) es una extensión finita de R , así que es completo respecto 1 n⊆ || por 3.4.11 , luego es un cerrado de ˆ K . 3.4.2. Valores absolutos no arquimedianos  Definición : Se dice que un valor absoluto : A es ultramétrico si cumple que|| → R | | ≤ {| | | |} ∈ + a b a b A m´ax , , para todo a , b . Dados a , b con , se tiene a b b a n a b n a b b n b(a ) (1 ) , | | = | + | ≤ | | + | || | | | + ··· + | || + || | + | | ≤ | | + de donde 1/n a b n b(1 ) , y tomando límite para n se concluye que → ∞ a b b a b 1 m´ax , . 3.3.6 R  Spec A Spec(K ) = ⊗ Q Por tanto, dado un valor absoluto no arquimediano : K existe un número real || → R(a) −α·v x α > ∈ | | = ∈ a e K 0 y un punto cerrado x Spec A, de modo que , para todo a \{ } . Corolario: Sea K una k(x)-extensión finita de cuerpos y C la variedad de Riemann de K . 3.5. Producto de valores absolutos de una función  Dado x C , sea el ∈ || x(f ) −v x x| | = ∈ f e K valor absoluto asociado a x definido por , para cada f . Entonces, se cumple que PQ gr x k 3.3.17gr (f ) − k x·v xx∈C f e e 1 | | x = = =x∈C Vamos a probar que en Teoría de Números tenemos la misma fórmula. 1. Definición : Dado un anillo A y un ideal maximal m , tal que A/m sea un  Consideremos la acción natural por multi- dim ∈ N = Q∗ plicación de A en f A N c , entonces { : (f ) } ∈ | | =d ∗ f A N c c: (f ) } /A |{ ∈ | | = | ≤ “El número de f A, salvo multiplicación por invertibles, tales que N (f ) c es menor ∈| | =d o igual que c .”Demostración. Por tanto, tenemos ∈ ∈ ∈ ∈ · que ∗ ∗ f A N c { : (f ) } /A (A/cA)/A , ¯f ¯f ∈ | | = ⊆ 7→ Por último, A es un Z -módulo libre de rango d, luego A/cA es un Z /c Z -módulo libre de d | | = A c rango d y /cA . 3.6. Apéndice: Variedades proyectivas  Por tanto, una base de cerrados de la topología de n m n m= ∩ ··· ∩h RProj R son los cerrados (f ) , con f homogéneo, y una base de abiertos de la topolo- ∈ gía de Proj R son los abiertos h U x Proj R , f p } , (f homogéneo) = { ∈ ∉ xf 7. Explicarθv v ∩ C= C la frase “v(p(x , y)) es igual a la multiplicidad de intersección de p(x, y) 0 con = y senx , en el origen”.=n ′ ′ n+1 Resolución: Sea v : C [[ ]] , v (s( )) n si s( ) a a , con θ θ θ θ θ→ Z = = + ··· + nn+1 ′ a , 0. 2 C x x x  2 2 2 Resolución: Los puntos de corte de x 0 con la x x x 0, son los puntos= − = + + 1 2 h i x x { (0 ,1, i),(0,1, ) } , que en coordenadas afines ( ¯x /x y ¯y /x en U , son los 1 2 1− = = x 1 2 2 puntos { (0 , i),(0, i ) } de la curva ¯x ¯y 1 0. En conclusión, Proj R [x , x , x ]/(x ) es la variedad de Rie- 2 2 2 3 mann asociada a al cuerpo de funciones de la curva y − = 2 1 2 1= = = x x zx x x /x y y /x ). 2 V ol  El grupo de los invertibles de A, que son los elementos de norma 1, es un ± grupo finito generado de rango r − que están en K. Introducimos la función zeta de Riemann, que es de gran importancia en la Teoría de números en el cálculo de la distribución de los números primos. 1. Notación : Sea K una Q -extensión finita de cuerpos de grado d, A el anillo de  enteros de K y sean,..., , ,... , ¯ ,..., ¯ Hom (K , C ) {σ σ σ σ σ σ σ σ1 r = = r+1 r+s r+s+1 r+1 r+2s r+s } = Q−al g r(donde σ (K) si y sólo si i y ¯ σ es igual a la composición de σ con el i⊂ R ≤ r+i r+i morfismo de conjugación). 4.2. Divisores afines Sea K una Q -extensión finita de cuerpos de grado d y A el anillo de enteros de K  Dado un divisor = x x = x x · P D n x x ,, diremos que el conjunto Sop(D) Spec A , n } es el soporte xx = · = { ∈x∈Spec A de D. El conjunto de los divisores afines principales de Div A, es un subgrupo = + y el cociente de Div A por el subgrupo de los divisores afines principales se denota Pic A Div A/ y se llama grupo de clases de ideales de A o grupo de Picard de A. 6. Definición : Llamemos ideal fraccionario de K a los A-submódulos no nulos finito generados de K  Los ideales fraccionarios son A-módulos localmente principales, porque son A- módulos finito generados de rango 1 sin torsión. En el conjunto de ideales fraccionarios tenemos la operación multiplicación de idea- les. 7. Definición : Sea x Spec A un punto cerrado y n . Denotamos  Luego, t K f A f A t A t A tal que v (t ) x x x x 1 x n x x x x x∈ = = +···+ = +···+n x si n : ´ınf { v (f ): f I ´ınf { v (f ) ,..., v (f ) } , entonces I t A . AEscribamos a m m , entonces A/a /m y = x ··· x = i x1 r i Y Yn i n i A /a A /m A /m N (a) x| | = | x | = | i | = ii i ′ ′ A I AExiste un ideal a tal que I a . 3.5.4 Demostración. A N A N a A Dado a , (a) /aA (aA). Escribamos f /b, a , b ∈ | | = | | = = ∈ Entonces, (f ) (b) (a) y · = N ((f )) N ((a))/N((b)) N (a)/N(b) N (f ) = = | | = | |14. Proposición : Sea c . Salvo multiplicación por invertibles existe un número  Ejercicio : Consideremos la aplicación{ Ideales fraccionarios de K Ideales fraccionarios de Q } , I N (I) } → { 7→ · Z · Z = ⟨ ⟩ f ∈I N Probar que N(I) (f ) . Sea S (p), entonces A es un dominio de ideales principales y como I es principal se = Z\ SS concluye por la proposición 4.2.13 . 4.3. Divisores completos  T E : 2 extiende a Λ R′ ′ ′ ′ T e e T i T(e , e ) : (i )(e , , e ) 2 1 n e 2 e 2∧ ··· ∧ ∧ ··· ∧ n = ∧ ··· ∧ n ··· n 1 1 1 X ′ ′ sign( ) T (e , e ) T (e , e ) σ= · 2 1 ··· 2 n n σ(1) σ(n)σ∈S Se cumple que T (e e , e e ) det((T (e , e ))) . s es igual a ( 4) por el determinante de S en la base { ( (a ) ,..., (a )) σ σ Luego ∆ − 2 1 j j ∈ Γr+s r s d R } , es decirj × C = Rs 2 ( 4) det(( σ (a )))∆ i j Γ = − (donde ( (a )) es una matriz cuadrada de números reales de orden d) y σi jps O V ol( 2 det(( σ (a ))) = | ∆ | = | i j |∞ /Γ) Γ dd 5. 4.5. Teorema de Riemann-Roch débil  El conjunto ¯ I es finito porque es la intersección de la red m con el com- ¯ m x ··· x Dm 1r s j −λ pacto { ( ) : e , j } , que es finito. Entonces, ( ¯ X ) \{ f K : ¯ D (f ) ¯ ¯ ¯= = O } = { ∈ = D X X ∗ forma un subgrupo multiplicativo de K que, al ser finito, ha de coincidir con } las raíces n-ésimas de la unidad contenidas en K , que denotaremos . 6. Corolario: Si ¯ D es un divisor completo y gr ¯ D ln , entonces ¯ D es linealmente≥ | ∆ K | equivalente a un divisor completo efectivo.4.6. Finitud del grupo de Picard  Probar quep A A si todo ideal primo p es principal si /p , entonces A es un dominio de x ⊂ | x | ≤ | ∆ K | ideales principales.p rEs conocido que el anillo de enteros de Q [ ], con r 0 y no divisible por ningún − > primo al cuadrado, es de ideales principales si si sólo si r 1 ,2,3,7,11,19,43,67,163. En efecto, (a B ) c B ( c ) , luego las · = · = · = pn ·n p n p n B c descomposiciones en producto de ideales primos de a y la ( ) han de ser la misma, luego son iguales. 4.7. El discriminante: invariante fundamental  1, por el corolario 4.5.6 , todo divisor completo de grado ceroK Si ∆ = ± es principal, lo cual es imposible porque hay un número no numerable de divisoresK ∈ | | =∞p X completos de grado cero y sólo un número numerable de f ; salvo 1, es decir, = = = Q = = = = Q n salvo los casos r 1 y s 0 (luego K ) y r 0 y s 1 (luego d 2 y K [ ] que tiene discriminante n, si n 1 m´od 4, o 4n, si n 2 ,3 m´od 4). d d 2 2 Podemos suponer que i K : si i K , entonces 4 4 , ∈ ∉ | ∆ K [i] | ≤ | ∆ A [i] | = | ∆ A | = | ∆ K | y como probaremos, el número de cuerpos cuyo valor absoluto del discriminante es d 2 menor que 4 y grado 2d, que contienen a i, es finito y cada uno de éstos contiene | ∆ | un número finito de subextensiones. 4. Ejercicio : Sea K un cuerpo de números de discriminante  4. Probar que dim K − Q = 2. 4.8. Invertibles. Elementos de norma 1  Sea Div ∞ = r+s y el grupo de los divisores completos de soporte en el infinito y Div el ⊕ R · = Ry∈X ∞ ∞ grupo de los divisores completos de soporte en el infinito de grado 0. Consideremos el¯ morfismo natural Div( ¯ X ) Div(X ), ¯ D D y la sucesión exacta, → 7→|X Div Div ( ¯ X ) Div(X ) → → → →∞ X Sea Pic ( ¯ ) el grupo de las clases de equivalencia de los divisores completos de ∗∗ grado 0. 1. Proposición : Pic es compacto  Proposición : El subgrupo de enteros de K de norma 1, a A : N(a) 1 , es un { } ∈ = grupo abeliano libre de rango r s K es impar, y es un grupo abeliano finito 1 si dim − generado de rango r s 1 y torsión si dim K es par. Por tanto, − ± p ax su polinomio anulador sería x a b∆ 2 ∗ A b, a, b : a 4 } = { ∈ Z − ∆ = ± 2 ∗ Para calcular el generador de A , que es único salvo toma de inverso y multiplicación por 1, observemos podemos suponer que a , b 0 y ha de ser aquel que cumpla además −> que a y b son mínimos.p p 8. 4.9. Número de ideales de norma acotada  Es decir, T(n) es el número de conjuntos f A tales que f a y tales ∈ que gr(D(f )) ln n m .≤ + Consideremos los morfismos ¯ D∞ −gr r s∗ ∗ ( R ) Div ⊕ C = O → → R∞ ∞ P y( λ ,..., λ ) (ln ) 1 i i r+s 7→ − i |λ | · D DObservemos que gr( ¯ (f )) gr(D(f )), ya que gr ¯ (f ) 0. Luego, si w , entonces w T (n) es el número de ele- ∈ = |µ K | · mentos de la red a en el conjunto 1/d U G P m n U: ( ,ln n ] 1= × × −∞ = d−1 1 d T v n OPor el lema 4.9.2 , w (n) (n ). 1 Donde E = O , Γ = a y U = U = G × P × (∞, m] es acotado porque si denotamos por  Observemos que el número de = R y Γ = Zd −1 −1 Ux x i puntos de λ : 0 , } . Sea C = { ∈ R ≤ ≤ λ ∀ Considerando la unión p C , obtenemos una figura que casi coincide con U, −1 ∪ +p∈U∩λ Γ pues le faltan algunos puntos de U y le sobran otros, pero tales puntos están en el p compacto C de los puntos que distan d / del borde de U. 4.10. La función zeta  Dado un número finito de primos distintos { ,..., p } observemos que 1 r 1 1 X 1 −1 −1 −1 −2 −1 −2 (1 ) (1 ) (1 p p ) (1 p p ) 1 r r p pn 1 rn∈P donde P es el conjunto de números naturales que se pueden expresar como producto de potencias de p ,..., p . Si existiese un número finito de números primos, { p ,..., p } , rr 1 1 entonces ∞ 1 1 X 1 −1 −1 (1 ) (1 ) − · ··· · − = = ∞ p p n 1 r n=1 y hemos llegado a contradicción. 1. Teorema : La serie n es una función continua en  nLa serie es una serie de términos positivos y tenemos n=1Z Z ∞ ∞ 1 X 1 −x −x −x 1 = + + < < = t dt n 1 t dt xx 1 1 1 1− −n≥1 −x luego es convergente, para cada x (1 , ). ∞ P Q Q 2∞ −x −x −2x −x −1 n p p pPor último, la igualdad (1 ) (1 ) expresa n=1 la unicidad de la descomposición de n en producto de números primos. 2 Recuerde el lector que toda serie de números complejos absolutamente convergente es incodicional- mente convergente  Definición : Sea K un cuerpo de números y A el anillo de enteros de K. Teorema : La función (x) es continua en la semirecta x 1,ζ K > Y 1 −1 l´ım (x 1) (x) v y (x) (1 ) K ζ K− · ζ = = −x x→1 N (p)p Demostración. 1 P  Por tanto, (x) v (x) a n y el siguiente lema n = 1 + ··· + n = K = · ζ n n dP 1 −x nK n > −d a n permite concluir que es una función continua en x1 . P Q−x −x −1 N NLa igualdad (a) (1 (p) ) expresa la unicidad de la descomposición a p = − de cada ideal no nulo de A en producto de ideales primos. 6. Lema: Sea (a ) una sucesión de números reales y sea b : a a . Si b O (n )  Llamaremos grado de x sobre Z , que denotaremos gr , a x= ∩ Z Z gr x : l (A/p ) dim A /p gr x = Z x = Z /pZ x =Z p = { 1 r = 1 · x +···+ r · xZ x x m x m Recordemos que si Spec A/pA ,..., x } entonces d gr gr . Como Y 1 Y 1 −1 −1 (x) (1 ) (1 ) ζK = − · − x x N (p ) N (p ) y y gr grZ Z y=1 y>1Y 1 Y Y 1 −1 −r (1 ) (1 ) = − · −x m x N(p ) (p ) y grZ m>1,mr≤d ,r y=1 p∈P mQ 1 −r y (1 m x ) definen funciones continuas en la semirrecta x 1/2 segúnm − 4.10.2 ,>p∈P ,r (p ) hemos concluido. 1 Observemos que a descompone totalmente en A si y sólo si todos los puntos de (a) son de grado   Por hipótesis, la fibra de casi todos los primos de grado = K 1 sobre Z de K está formada por d primos de L, que necesariamente han de tener grado 1 sobre Z . Además, cada primo de L de grado 1 sobre Z , está sobre un primo de K degrado 1 sobre Z . 18. Corolario : Si un número entero es resto cuadrático módulo casi todo primo, en- tonces es un cuadrado perfecto  Si q (x) , q (x) [x], la condi- ⊆ ∈ Z′ ción necesaria y suficiente para que todas las raíces de q(x) sean expresiones racionales de las raíces de q (x) es que en casi todos los primos p en los que el automorfismo de ′ Fröbenius de q (x) sea trivial lo sea el automorfismo de Fröbenius de q (x). L L K L L = Z A ′ A ′El morfismo natural A es epiyectivo en casi todo punto, porque al L ⊗ A L → LL K ′ ′ K K⊗ → L LL localizar en el punto genérico de A , tenemos el epimorfismo L . LL LL(A /pA ) (A ′ /pA ′ ) A ′ /pA ′ L L A⊗ K /p L L → LL LL ′ Por tanto, q descompone totalmente en LL , y el corolario anterior permite concluir ′ ′ que L LL , es decir, L L . = ⊆4.11. Cuestionario 1. Demostrar que Pic A } si y sólo si A es d.i.p.  Dados dos divisores afines D y D , definimos ´ınf { , D } : 1 = i i 2 = i i 1 2 = i=1 i=1Pr n x K´ınf { , m . Sea A el anillo de enteros de un cuerpo de números y S(n) el número de f , ∈ salvo multiplicación por invertibles, tales que N (f ) n . 4.12. Biografía de Dirichlet DIRICHLET BIOGRAPHY  V ol( n ⊂ R n e 1 ⊕···⊕Z ) ,..., a Teoremas de la Teoría de Números ⊗ Q R = R ⊕d 0 y existe algún morfismo K , > r = K Q Resolución: dim K = {± 1 } . Sean c 0, y⊂ > con y X tales que ∈∞ Y 2 gr y sO c ( ) V ol ( /I) y > · ∞πy∈X ∞ I f c y y∈ | | < ∈ X Probar que existe 0 , f , tal que para todo y . 2 Z [ ] [x]/(x x 1). Tenemos que probar que los ideales primos p tal que  Consideremos K [ 8] [ 8 y el anillo de enteros de K es A K= Q = Q 2]. Tenemos que probar que los ideales primos pz = Z = Z − 2p z| | ≤ < para los ideales tales que A /p 2. 2 Z [ 11] [x]/(x 11). Tenemos que probar que los ideales primos p tal que  (3) | z | = = { − − = − = 2 { (3 , x 2) (3) } . El anillo de enteros de K es A [ ] = Q − K = − = Z = 3]. 2 Z [ ] [x]/(x  Luego, sólo tenemos que comprobarlos para los | z | = = { = − = − = { pp A ideales tales que /p2 ,3. El anillo de enteros de K es A K= Q − = Q − 2]. 2 Z [ ] [ ] [x]/(x ). Tenemos que probar que los ideales primos  z| | = = { = { = − = − 10. Probar que las únicas soluciones enteras de la ecuación 2 3 y 2 x = + son y 5,x 3. 2 Resolución: A [ ] [x]/(x ) es un anillo de Dedekind. Veamos que es  ∆ = − p que probar que todo ideal primo p A tal que A /p 3 es principal.y ⊂ | y | ≤ | ∆ A | < Tenemos que y (2) (2 , x) (x) } . Observemos que (y 2 , y 2) (y 2 ,2 2) (y 2 , 2) − − + − = − − − = − − − ½p , si y , ˙2 ; (y , 2) p = − = ( 2) , si y , ˙2 − 2 3 2 Ahora bien, si y ˙2, entonces y 2 no es múltiplo de 4, pero x y 2 es múltiplo de 8 (porque x ha de ser múltiplo de 2), contradicción. 2 Luego, b(3a b ) 1, luego b 1 y a 1, de donde y 5 y por tanto x 3  Sea K un cuerpo de números y P Hom (K , C ) un subconjunto propio, tal ⊂ Q−al g que si P , y c es el automorfismo conjugar de C , entonces c P . Probar que σ ∈◦σ ∈ existe un invertible ǫ en el anillo de enteros de K, tal que ( ǫ ) 1, para todo |σ | < P P y ( ) 1, para todo . 2 A x  Por el teorema de Dirichlet, los invertibles, A , es p el conjunto de las raíces de la unidad incluidas en Q [ 19], es decir, 1 } . Siguiendo las notaciones [i] [i]= = Q = {± ± |µ Q | = 1 de la demostración del teorema 4.9.1 , a [i] y m 0, G S , P } y U= Z = = = { 1 = G( ,0] y resulta ser el círculo unidad. Luego, × −∞ V ol (U ) 1 v /4 = = π V ol ( C / Z [i]) |µ Q [i] | · , J.: Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1999.[15] O RE , O.:Number theory and its history., McGraw-Hill Book Company, Inc., 1948. LEMENTARY NUMBER THEORY  [18] E : , International Thomson Publ. EIL [21] W , A.: Basic number theory, .