VECTORES EN EL ESPACIO

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  VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE EJERCICIO 1 : Dados los vectores a 1 , 2 , 3 , b 1 , 1 , 1 , c 1 , , 5 y d 1 , 1 , 3 :  −−−− (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))  a) ¿Forman una base de R3? b) Expresa, si es posible, el vector d como combinació n lineal de a , b y c .  Solución: a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes.  b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d x a y b z c  =  (-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5) (-1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z)  1    x y z = −  ⇒  1 Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x = 2, y = 3, z = - d = 2 a − 3 b c  3 x y 5 z = + +   2 x y =  3  EJERCICIO 2 :   a) Se sabe que u , v y w son linealment e dependient es. ¿Podemos asegurar que u es combinació n lineal de v y w ? Justifica tu respuesta.  B  b) Halla las coordenada s del vector a 4 , 3 , 7 respecto de la base = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}.   (((( )))) Solución:  a) No. Por ejemplo, si tomamos u 1 , , , v , 1 , , y w , 2 , :  ( ) ( ) ( )  Son linealment e dependient es, pues w 2 v .  − = Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w . −  b) Llamamos b 2 , 1 , , c 1 , , 2 , d , , 3 a los vectores de la base B . Tenemos que −  encontrar tres  ( ) ( ) ( )números, x, y, z, tales que: a = x b y c z d  (4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3) (4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z)  2 x y 4 x  3  = =   x 3  y  4 2 x  2  = = − = −  7 2 y 2 y 3 z  7  − + =  7  2 y z  1  = → = = 3 z  3  3 , 2 , 1 , es decir : a  3 b 2 c d −  ( ) = − EJERCICIO 3 : Dados los vectores u 2 , 1 , y v 3 , 2 , 1 :Las coordenada s de a respecto de la base B son  −−−− −−−− (((( )))) (((( ))))  a) ¿Son linealmente independientes?   b) ¿Forman una base de R3?   1  2 u 3 w v .c) Halla un vector, w , tal que  =2 Solución:  a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos:  x(2,-1, 0) + y(3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir:  3 y 2 x  =    2  − =x y  Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0   y  − =    b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente independientes).  1  1  1  2  c) 2 u 3 w v 3 w v 2 u w v u  = → = − → = − +    1 2 − 5 −  1  2  2  6  3 ⇒    w 3 , 2 ,  1 2 , 1 , , 1 ,  EJERCICIO 4 : → →→ → → → → →→ → → →a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6)  b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución:  a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0)3 z =   2 x y    − 2 y 2 z = Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −  2 λ , y = λ , z = λ   − 3 x − 6 z =    b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base.  →→ → → → →→ → → →→ →3 EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R formada por los vectores : a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1)  a) Halla las coordenada s de u 4 , 7 , 14 respecto de la base anterior.  −−−− (((( )))) b) Expresa, si es posible, el vector c como combinació n lineal de a , b y u .  Solución:  a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = + + x a y b z c , es decir : (4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z)    2 x 3 z  4  = +   2 y 7  Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x  5 , y 1 , z  2 − = −x  = = − = −   3 x y z  14− =   Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son 5 , 1 , 2 , es decir : u 5 a b 2 c  − − = − − ( )  b) De la igualdad obtenida en a), tenemos  5  1  1  que: u  5 a b 2 c 2 c 5 a b u c a b u = − − → = − − → = − −  2  2  2 PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que forman dos vectores, proyección ortogonal,…) EJERCICIO 6 : Dados los vetores u 2 , 1 , 3 , v 4 , 2 , 2 y w 1 , 2 , x :  −−−− −−−− (((( )))) (((( )))) (((( )))) a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v . o  b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 .  Solución:  2  2  2  2  2  2  a) u  2  1  3  14 3 , 74 v  4  2  2  24 4 ,  90  = − = ≈ = − = ≈ + + ( ) ( )  Si llamamos al ángulo que forman u y v , tenemos que :  α  u · v  8  2  6  − − o cos u y v son perpendicu lares, es decir, 90 .  α = = = → α =  u · v u · v  1  2  2 3 x  1 3 x  · − ou w  b) Ha de cumplirse que: 60 , es decir :  cos = = → =  u · w  2  2  2  2  14 · 5 x  70 14 x  2  2  2  2  70 14 x = 6 x →  70  14 x = 36 x → 70 = 22 x    35  x (no vale, pues u v 3 x )  = − · = >  11   70  35  2  x = =   22  11  35  x  =    11( ) ( ) ( )= + = += + + = + + =  4 4 v u v v u v v u u u v u v u b)  a) m  −−−− ==== −−−− −−−− lares. perpendicu sean c y a que para de valor el Halla  , 1 , b , 1 , Dados 1 a vectores los  (((( )))) (((( )))) : b a m c y 1 ,  − ⊥ + EJERCICIO 9 :   ( ) ( ) v u v u  ⇒  = − = − = − + − = − + · · · · ·  2  2  ≈ − = − ( ) ( )  b) = m  4 8 v u  2  1  53 ,  − = + − = + − = − − = − · cos · ·  2  2  2  o  2 u v u v u v u  . c y b forman que ángulo el halla ,  Solución: ( ) ( ) ( )  8  1 , 3 , , 2 c queda  · cos  = − = = α  o = α → ≈ −  4 · c b c b  2  4 14 ·  28  27 139 76 ,  b) α − = m tenemos que: ' ' 51 '  2 Para  ( ) , c y b forman que ángulo al llamamos Si .  1 , 1 , 1 ,  − = → = + = + + = − − − = → ⊥ · m m m m m m ·  1 c a c a  1 1 , , 1 , 1 ,  2  1  1  2  ( ) ( )  − − = − − − = − = m m m m  a)  , 1 , 1 , 1 b a c  4 · 45 · v u 2 4 v v u  4  EJERCICIO 7 : (((( )))) (((( ))))  = ´ u 2 ·  : decir es , v u forma la de es v y u de lineal n combinació sea que vector Un  ·  1 · v u v u cos = α → = = = = α  1  1 2 ·  2  2  2  45  : que tenemos , v y u forman que ángulo al llamamos Si α o  1 = v v v u  b a  2  1 ( = ) , 1 , 1 (  2  1 ,  2  Proyección de u sobre v: ) ,  Solución:  b) , , , , , ≠ z y x perpendicular a (1, 0, 0).   , sea que y v y u de lineal n combinació sea que vector un Encuentra  a) ( ) ( )  : , 1 , , 1 v y , Dados 1 u vectores los . v y u an o que form o el ángul , así com v sobre u de royección Halla la p  b)  , , , 1 , , 1 , 1 v u b b a b a b a  2  2  ( ) ( )  4 8 v u ≈ + = + →  2  3  · cos 70 ,  4  2  4 , 4 v u · v u ·  8  2 ·  4  Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero: (a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a Por tanto, cualquier vector de la forma: (0, b, 0), con b ≠ 0 cumple las condiciones exigidas.  8  4  2  · · · · · · ( )  · v v u 2 u v v u v v u u u v u v u v u a)  = + + = + + + = + + = + 2 2 2  Solución: ( ) ( )  b) − +  − + lares. perpendicu son v u y v u que Demuestra  ==== 2 v u ==== ? v u de el ¿Y ? v u de módulo el es ¿Cuál a)  EJERCICIO 8 : , tienen que y ángulo 45 de un forman que vectores dos v y u Sean o módulo mismo el .2 Para  → →→ → →→ → → →→ → → → → →→ → →→ → →→ → → → →→ → → →→ → → →→ → → → →→ EJERCICIO 10 : Dados los vectores =2 - – a i j ; b = i + 2 j k ; halla x e y de forma que c =x i + y j  →→ → → → →→ → sea perpendicular a b y tenga el mismo módulo que a . a 2 , 1 , b 1 , 2 , 1 c x , y ,  Solución: − − ( ) ( ) ( )    x y  2  = −  2 y  ⊥ → = → = c b c · b x  2 2 2 2 2  = − → = 2 2 2 2  5 y 5 y   y 1 x  1  = → = → x y x y  c a  5  5  = → = → = + +  54 y y  =   y 1 x  2  = → = −  Hay dos soluciones:  2 , y 1 , que correspond e a c 2 , 1 , .x  = = − − ( )  2 , 1 , que correspond e a c 2 , 1 , .x y  = − = − ( )  PRODUCTO VECTORIAL EJERCICIO 11 : Dados los vectores u 1 , 3 , y v 2 , 1 , 1 : (((( )))) (((( )))) a) Halla un vector, w , de módulo 1, que sea perpendicu lar a u y a v .  b) ¿Cuál es el área del paralelogr amo determinad o por u y v ? Solución:  a) Un vector perpendicu lar a u y a v es : u v 1 , 3 , 2 , 1 ,  1 3 , 1 ,  5  × = ( ) ( × ) ( = − − )    u v  3  1  5  × − −  Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1: w = = , ,   u × v    35  35  35      3  1  5  3  1  5  − − −      Hay dos soluciones : , , y , ,        35  35 35    35  35 35   2  b) Área u v  35 5 , 92 u  = × = ≈ EJERCICIO 12 : a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquie ra, se tiene que : u v u v 2 u v  −−−− ×××× ==== ×××× (((( )))) (((( )))) (((( ))))b) Halla un vector perpendicu lar a u  2 , 1 , 1 y a v 3 , , 1 .  (((( −−−− )))) (((( −−−− )))) Solución:  ( )a) u − v × + + + + u v = u × u u × v − v × u − v × v = u × v u × v − =  2 u × v  ( ) ( ) ( ) ( ) Tenemos en cuenta que u u y que u v v u .  × = × = − ×b) u v  2 , 1 ,  1 3 , ,  1 1 , 5 ,  3 × = − × − =  ( ) ( ) ( ) → →→ →  EJERCICIO 13 : Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por (2,0,1) y u →→ → → (0,m,1) sea 2. v  Solución: • El área del paralelogr amo determinad o por u y v es igual a u × v .Calculamos u × v y hallamos su módulo : u × v = 2, 0,  1 × , m , 1 = − m , − 2 , 2 m  ( ) ( ) ( )  2  2  2  2  2  2  2 2 m = m  4 4 m = 5 mu × v = − m −  4  ( ) ( ) ( )  2  2  2 Igualamos a 2:  Área = + + 5 m 4 = 2 → 5 m 4 = 4 → 5 m = → m =  EJERCICIO 14 :   a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0) b) ¿Es cierto que u v w u v w ? Pon un ejemplo.  ( × ) × = × ( × ) Solución:  a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5)    2  1  5  −  Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1: , ,    30  30  30       2  1  5  − −  También cumple las condiciones su opuesto: , ,    30  30  30    b) En general, no es cierto. Por ejemplo: u 1 , , v 1 , , w , 1 ,  = = = ( ) ( ) ( )   u v w w   × × = × = ( )  Por tanto, u v w u v w .  × × ≠ × × ( ) ( )  u v w u , ,  1 1 , , , , 1 , 1 ,  × × = × = × = −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) → →→ → → →→ → → → u v u w  EJERCICIO 15 : Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores x y x , u  2  1 1 , v  1 1 y w 1, 0,  1 , , , ,  − − ( ) ( ) ( ) siendo: Solución:Calculamos u × v y u × w : a = u × v = 0, 2,  2 b = u × w = −  1 , − 1 ,  1 ( ) ( )  El área del paralelogramo determinado por a y b es igual al módulo del producto vectorial:  a × b = , 2 , 2 × − 1 , − 1 , 1 = 4 , − 2 ,  2 ( ) ( ) ( )  2  2  2  2  4 −  2 2 =  16  4 + + + + Área = 4 = 24 ≈ 4 , 90 u ( )  PRODUCTO MIXTO EJERCICIO 16 : → → →→ → →  a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u (2,-1,1), v (3,0.-2), w (2,-3,0)  b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: 2 u , v , w ; u , v , u v [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]Solución:  a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u , v y w es igual al valor absoluto  2  1  1 −  3 de su producto mixto: u , v , w  3  2  17 Volumen 17 u = − = − → =  [ ]  2  3 −  b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:  2 u , v , w 2 u , v , w  2  17  34 = = ⋅ − = −  [ ] [ ] ( ) u , v , u v (el tercer vector depende linealment e de los dos primeros).EJERCICIO 17 :   = [ ]  → → →→ → →  a) Halla los valores de m para que los vectores u (0,1,1), v (-2,0,1) y w (m,m-1,1) sean linealmente independientes.  b) Estudia si el vector 2, 1, depende linealment e de u , v y w para el caso 3 . m  = ( )  Solución:  a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero:  1  1 u , v , w  2  1 4 m m  4 = − = − = → = ⇒ Ha de ser m ≠ 4.  [ ] m m  1  1 −  b) Para m = 3 , los vectores u , v y w son linealment e independie ntes, y forman una base de R3.  → →→ → → → EJERCICIO 18 : Dados los vectores u (1,2,3), v (1,1,1) y w (1, ,5), halla el valor de para que:   λλλλ λλλλ a) determinen un paralelepípedo de volumen 10.   b) sean linealmente dependientes.   Solución:  a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u , v y w es igual al valor absoluto  1  2  3  de su producto mixto: u , v , w =  1  1 1 = 2 λ −  6 [ ]  1 λ  5   2 λ − 6 = 10 → 2 λ = 16 → λ =  8 ⇒  Volumen = 2 λ − 6 = 10  2 λ − 6 = − 10 → 2 λ = − 4 → λ = −  2   Hay dos soluciones : 8 ,  2  λ = λ = −  1  2  b) Su producto mixto ha de ser cero: u , v , w = 2 λ − 6 = → λ =  3  [ ] Dados los vectores u 1, 0, 1 , v 0, 2, 1 y w 2 , 2 , 1 , se pide : EJERCICIO 19 :   (((( −−−− )))) (((( −−−− )))) (((( −−−− )))) a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.   b) Halla, si existe, el valor de para que el vector a , , 6 se pueda expresar como α α α −  ( ) combinació n lineal de u y v .  Solución:  1  1 −  3  u , v , w  2  1  4 Volumen 4 u  a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: = − = → =  [ ]  2  2  1 −  b) Los vectores u , v y a han de ser linealment e dependient es ( u y v son linealment e independientes); 1 − 1 por tanto, su producto mixto ha de ser cero: u , v , a =  2 − 1 = 3 α − 12 = → α =  4  [ ] α α −  6 EJERCICIO 20 :   a) Demuestra que los vectores u k , −−−− 3 , 2 , v k , 3 , 2 y w 1, 0, son linealment e independientes, (((( )))) (((( )))) (((( )))) k cualquiera que sea el valor de .   b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u , v y w ? Solución: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k. k  3  2  −  u , v , w k  3  2 12 para todo k .  = = − ≠ [ ]  1  b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen = 12 u3  REPASO , , m m  EJERCICIO 21 : Dados los vectores u 2 , − 1 , 1 , v 3 − 1 y w , 2 , − :  ( ) ( ) ( ) a) Halla el valor de m para que u y w sean perpendicu lares.  b) Calcula el ángulo que forman u y v .  c) Halla el área del triángulo que determinan u y v .  Solución:  a) Para que u y w sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero : u · w 2 , 1 , 1 · m , 2 , m 2 m 2 m m 2 m  2  = ( − ) ( − ) = − − = − = → =  b) Si llamamos al ángulo que forman u y v , tenemos que :  α  | u · v |  7  7 o  cos  ( ) 21 Consideram 1 a vectores los os  − ( ) ( ) ( )  , C y   D .   Solución: ( ) ( )  4 , 4 , 1 ; 1 ,  3 ,  3  a) AC AB  = + − + − = − − = × = 2 2 2  b) El volumen del tetraedro de vértices A  15  11  16  2  1 15 , 11 ,  16  2  , B  , B y   C .   3 | 5 |  b)  α  '' 31 '  48  36 80 ,  39  5 13 ·  | v | · | u | | v u | o  2  = α → ≈ = − = = α  · cos  EJERCICIO 24 : Dados los puntos A  (-2,0,1), B   (1,-3,2), C   (-1, 4, 5) y D   (3, 1, -2), calcula:   a) El área del triángulo de vértices A  1  27 , 12 602  1 Área AC AB 2 u  6 , 2 , 2 ; 5 ,  (-1,5,m), C   ( m  , 2, -2) y D   (0, 1,-3). Calcula el valor de , un tiene y vectores los por o determinad pedo paralelepí el que sabiendo AD AC AB m  , . 3  u 40 de volumen Solución:  ( ) ( ) ( )  3 , 2 ; 3 , 6 ,  EJERCICIO 25 : Sean los puntos A  3  − − − − − − AD m AC m AB  [ ] = − −  − − =  5  3 2 m 3 m  6  3 AD , AC , AB [54 + 2(m -2)(m -3) +60] – [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m2 + 32m + 6   (2, -1, 3), B  = → − = − − =  11 1 k  − −  2  1  = = ( ) ( ) ( )  3 , 1 , 5 ; 4 ,  4 , 1 ; 1 , 3 ,  3  b)  [ ] 3 Volumen 136 u 136  3 , ,  3  1  5  4  4  1  1  3  5 Volumen : que tenemos , v y u forman que ángulo al llamamos Si  5  u 66 ,  1  , , , ,  , , −  . b y a determinan que triángulo del área El  a) . c y b , a por o determinad pedo paralelepí del volumen El  b) Solución:  ( ) ( ) ( ) = + + = − − = − × = × =  4  25  1 , 2 b  2  1 2 , 1 ,  5  2  1 1 , 2 , 2 ,  1 ,  1  2  2  2 3 c y  2  2  1  11  2  1  1  9  1  1 1 , 3 ,  1  1  2  1 v u  2  1 Área  c)  ≈ = + + = = × = EJERCICIO 22 :   ( ) ( ) ( ) Calcula: .  1 b a  1 Área  12 k 11 1 k  2  a) Halla el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por . u , 11 valga w y v u  3 . v y u forman que ángulo el Calcula  b) Solución:  a) El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:  [ ] 1 k  5 k 1 k  3  1  , 2 v 1 , Dados 1 u vectores los 1 ,  1  1 , w v , u − − = − − =  ⇒       = → − = − − − = → = − − → = − − =  2 k  11 1 k  5  5  −−−− −−−−  (((( )))) (((( )))) (((( )))) : k , 1 , k w y , 3 ,  a) 2 u 74 ,  = → = − = EJERCICIO 23 :   2  30  2  1  ≈ =  b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:  [ ] 3  u  11 Volumen  11  1  2  3  1  2  2  1  1 , c b , aAD AC ABAD AC AB  Volumen: V = |2m2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades:2m2 + 32m + 6 = 40 ⇒ 2m2 + 32m - 34 = 0 ⇒ m2 +16m - 17 = 0    m =  1  − +  16 ± 256 68 − 16 ± 324 − 16 ±  18  m    = = =  2  2  2   m  17  = −2m2 + 32m + 6 = -40 ⇒ 2m2 + 32m + 46 = 0 ⇒ m2 + 16m + 23 = 0  16 256  92 16 164  16  2  41 − ± − − ± − ± m = = = = − 8 ±  41  2  22 Hay cuatro soluciones: m = −  17 ; m = 1 ; m = − +  8 41 ; m = − 8 −  41  1  2  3  4 REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO   EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes: A B C A B C  a) (2, 3, -4), (5, 3, 0) y (0, 0, 4)   b) (0, 5, 2), (1, 3, 0) y (2, -3, 1) A B C A B C  c) (0, 0, 2), (3, 2, 4) y (4, -1, 3)   d) (0, 3, 1), (0, 3, 0) y (1, -2, 4) Solución:APLICACIONES DE LOS VECTORES  A B C EJERCICIO 27 : Los puntos (3, 0, 2), (5, -1, 1) y (-2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obtén el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.   Solución: Como se trata de un paralelogr amo, se tiene que AB DC . Si D x , y , z :  = = ( )  (2,-1,-1)=(-2-x,3-y,1-z) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 ⇒ D(-4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:     1  3  3   M , ,  =   2  2 2  P Q  EJERCICIO 28 : Halla las coordenadas de los puntos y que dividen al segmento de extremos A (3,-1, 2) y B (-2, 2, 4) en tres partes iguales.   Solución:    8  8 AB = 3AP ⇒ (-1,3,2) = 3(x-3, y+1, z-2) ⇒ P(x,y,z) =  , ,     3  3    8  8  2  4 −   2  2  10   3  3      Q = Pto_medio PB = , , ,  1 , =       2  2  2  3  3    D es el simétrico de B respecto de M. Así:− = → =+ − = → =EJERCICIO 30 : Calcula el valor de = → = − = → =  − −  ', del punto P  EJERCICIO 31 : Halla el simétrico, P   5 = → = − → = −  2 a  2  5  1 a 4 a  ⇒  = − − =  Solución:  6 − −  2  8  6  5  7 a  5  2  3  (2, 1,-3) respecto de Q (3, 5, 1).   Llamamos P '(  la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:  3  2             2  3  4  1  2  5  9  2  α  1  5  P 4 '  ( ) 5 , 9 ,  ),de manera que:  γ  ,  β  ,  2  BC AB C B A  EJERCICIO 29 : Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A  1  1 − − =  1  1  1  1  1  3  2 x  2 y 1 x  − = → − =  2  2 z 1 4 y  1  1 C 1 z  1 , 4 ,  C es el simétrico de A respecto de M, por tanto: ( )  Solución: Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2).  (2,-2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M (1, 2, -1). Halla los otros dos vértices.   (3, 0, -1) y B              ( ) D 6 , 5 ,  , tengan y vectores los que siempre alineados están y puntos Los  2  Solución:  C (8, 7, 3)   B (6, 5, 2),   A (2, a, 0),   a para el cual los siguientes puntos están alineados:   − = → − =  − =             2  2  2  5 z  2  2  2  2 x  1  2 y 2 x  2  2 z 3 6 y  1  = γ → = γ + − = β → = β + = α → = α +