Guía de Matemática I 2013

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INECUACIONES LINEALES  Ejemplos: Resolver: a) 3 x 3x 3 x 1 1 3 x < 3 x < 3 : 3 3 3 x x < 1 < 1Solución: S = ( -  , 1 )Representación gráfica: b) 4 x  3 4 Solución: S = [ , +  ) 3 Representación gráfica: Las inecuaciones permiten resolver problemas. x  415 - 875w Hacemos el cálculo en el segundo miembro 1 w Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por - 4 (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, 1  x    460  debemos cambiar el sentido de la desigualdad)    4  w Hacemos el cálculox  115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. 1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x  4  ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:x 3 4 xi) 8 4 6 5    x x n)  1    2   x x xt) 4 10    3234   x x x s) 2 1r)  3 8   x xq)x x 2 2 7   x x p)   8  x x o)  2 3 1 9 2    x x m)   1    7   x xl) 2     k)   8x x x 3 4 2 5 2  x xj) 6 11. a)  2  x  2  8  1  x  1  35 b) 6 1  y 2  5  9  10  3 x  5   1  5   3 x  20   c) d) e) 2 2 2 2x f) 4 a  2  a  1  3 a  4     3 x  4  5 x  5  3 x g) h) 15 3 5 15     i) x 6 x 4 x 1 x 3      18. b) A(6, -1) y B(10, Y 1 ) es , encontrar Y 17. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7)a) Localizar los puntos medios de los lados  c) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). 17. Se dan los puntos: A(2,7) y B(6,4). Se pide     y    2 b) , 7 3 , 4 5 e) , y a , b                    a) 2 , 2 y 2 , c) a , 3 y 2 a , d) 5 , 2 k y 3 , k f) 2 , 3 y   , g) a , b y  a , b h) c  d , c  d y c  d , d  c         La Recta 2 5    24. La ecuación de la recta que pasa por el punto  3  , 2  y es perpendicular a la recta que x 9  7 y  pasa por los puntos  1  , 3  y   8 , 7 es: ? d) De distinta dirección  Si una ecuación no es lineal, di por qué.3 3   17    a) xy 9 b) 2 r 7 4 s c) 4 x  7 y e) q  f) 4 x 3p 33. d) 8 x y y 5 4 x  y5  20 2 x  y 6   2 y  2 x y   x y  x x  4 y   3 y  a) b) c) d) e) f) g) h) 2 2i) 3 y  9  j) 3 x  15  k) . g) 3 . 2 , 12 . 8 y 3 . 2 , 2   3 , 12 . 4 y 8 . 35. En caso de que exista, calcula la pendiente de cada una de las siguientes rectas   7   5  6  15  12  4  7  a) x b) y 3 c) x d) x e) 5  y 6 f) y 6  14       g) 12 4 x 9 x 5 9 y 2 x h) 3 y 2 x 36. Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo,2 con el área y de un círculo, en función del radio x ; y   x ; otras veces es difícil o aúnimposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x. 2 La ecuación en forma implícita y = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x  1) log a 1 = 02) log a a = 13) log a (u v) = log a u + log a v n 5) log a (u ) = n log a u6) log M = log N, entonces M = N a a Ejemplos para discusión:1) Halla el valor de x si log 2 x - log 2 (x - 8) = 3. Halla el valor de x:7) log 10 1000 = x 9) log 3 x = -1 10) log x 27 = 312) log 3 x + log 3 (x - 2) = 1 13) x - 3 = log 2 32 2 14) x - x = log 5 25 x 15) f(x) = 3 16) y = 3Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos. FUNCIONES INYECTIVAS  Hallar la intersección con los ejes de cada una de las siguientes funciones:33 3 x x2   f xa) f ( x )  x  x b) f ( x ) ln 2 x 6 c) f ( x )  x  x d) ( )  e) f ( x )  e  e  20 x  2143  1( )   ( )   4 f) f x x x g) f x x x 21. a) y  x b) y  x c) y  x d) y  x e) y  x log log log log log 210 1 .5 3 .52 1  f) y  log x  2 g) y  log x3  2 23. b) 8 o  8 25.      x para x4 para x  2 2 2 2     a) f ( x )  4  x para  x  2 b) f x x para x( )  4 2 2  2 x  6 para x  2 x  para x  3 2 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. 26. Los costos fijos mensuales para producir un artículo son de $2000000 y los costos variables por unidad son de $ 5000; si el precio de venta por unidad es de $9000  Hallar: a) Ecuaciones de costos e ingresos en función del número de unidades y representarlas en un mismo plano. Una máquina se adquiere por $ 12000000 y se deprecia en 15 años, hallar: a) P(t) b) El valor de la máquina y la depreciación acumulada dentro de 7 años. c) Expresar el valor del libro en función del tiempoÁrea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García30. En 1950, la demanda de gas natural en Estados Unidos era de 20 billones de joules. En  Raggs, Ltd., una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir dex R ( x )  200 x  50 R (x ) la venta de vestidos son dados por la función donde son los x R ( 10 ) R ( 100 ) ingresos en dólares, de la venta de vestidos. El monto en dinero en una cuenta de ahorros al 6%, compuesto anualmente, depende de x A ( x ) x 6 % x A (x ) la inversión inicial y está dado por la función , donde es el monto A ( 100 ) A ( 1000 ) de una cuenta al final del año 1. 1 Respuesta: f x x x  Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos    1 , 6 , 2 , 3    3 , 18 . Un negocio obtiene ganancias de $38 el primer día, de $66 el segundo día y de $86 el1 , 38 , 2 , 66 y 3 , 86 tercero. 38. Un negocio gana $1000 el primer mes, $2000 el segundo mes y $8000 el tercero. El  1 , 1000 , 2 , 2000 y 3 , 8000 administrador dibuja los puntos       . a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a los datos. 39. Escribe un argumento convincente sobre por qué no hay una función cuadrática que se  Ejercicios propuestos Evaluar los límites siguientes, citando en cada caso el teorema respectivo.x  1 4 2 a)lim xx  x  x  x  x 4 b) lim3 c) lim ( 2x – 1 ) d) lim5 e) lim ( - x + x +2  4x )32 t  ( x 1 ) x 1 f) lim g) lim x  h) lim ( x + 4 ) (5x lim x x x t  4 4 3   1 – 1 ) i) 1  1 4 tx x 3 2j) lim ( 3x + xx  1 –x + 2) Infinitos e Infinitésimos. Ejercicios propuestos Resolver los siguientes límites:223 x x  a x  1 4 x a) lim x 2 2 x  a x  b) lim c) lim1 2 x  a d) limax  a  x  x  3  233 3 5 x  ax a Área Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES  CLASIFICACION DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD darse una, almenos, de estas condiciones:Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidadno evitable (o inevitable). Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una funciónRealizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la funciónResolución: La función x+2 es continua en todos los puntos. 1 Respuesta:  x x x xlím x jj) 1/6 Respuesta: 234  x xlím x 2 4 Respuesta: 17/13ii) 3225    4 13 10 2 7 15 hh) 1/9 1 5 2221   x x x xlím x 22     12 Respuesta:mm)x x xlím x    2ll)x x lím x 3 Respuesta:  x xlím x 1 2 3 5 kk) 3/5 Respuesta:  x x x xlím x 322    Respuesta: 5 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. Calcular los valores de a y b para que la función sea continua:x  2 a si x   2 f   x  3 ax  b si  2  x  1  3 x  2 b si 1  x f ( x )  x 2  3 x  4 8.