Motion in Two Dimensions

0
0
31
6 months ago
Preview
Full text
  TEMA 3– CI NEMÁTI CA ( 2 DI MENSI ONS) Curso 2011-12  Toni Rama  Acknowledgements: I would like to thank Prof. Wenda Cao from Physics  Department of the New Jersey’s Science & Technology University (NJIT) for letting me use some of his slides.  INDEX 1. Repàs – Int roducció (MRU – MRUA amb 2D i 3D).  2. Relat ivit at del moviment .  3. Traj ect òria en 2D. y=f (x).  4. Moviment parabòlic.  5 Moviment Circular Unif orme (MCU)  2 5. Moviment Circular Unif orme (MCU).  6. Moviment Circular Unif ormement Accelerat (MCUA).  OBJECTIUS DIDÀCTICS • Relat ivit at del moviment i sist emes de ref erència en moviment .Est udiar el moviment parabòlic com a exemple de moviment en dues dimensions. Est udiar el moviment circular unif orme (MCU) i el moviment circular unif ormement accelerat .  3 Motion in Two Dimensions ‰  Go over vector and vector algebra Di l t d iti i 2 D ‰  Displacement and position in 2-D ‰  Average and instantaneous velocity in 2-D ‰  Average and instantaneous acceleration in 2-D ‰  Projectile motion ‰  Uniform circle motion September 22, 2008  ‰ Relative velocity== y x  Position: x(t) m „ Velocity: v(t) m/ s Motion in two dimensions „ Velocity: v(t) m/ s „ Acceleration: a(t) m/ s 2  ‰ All are vectors: have direction and magnitudes x z k j z y x  September 22, 2008 /  ˆ ˆ ˆ ) ( + + = r  k a j a i a t a z y x  ) (  ˆ ˆ ˆ  y i j x k z j y i x t r  ˆ ˆ ˆ ) (  ‰ Kinematic variables in three dimensions „ Position: m „ Velocity: m/ s „ Acceleration: m/ s 2 k v j v i v t v z y x  θ tan or tan θ ‰ Kinematic variables in one dimension „  − x y x y y x A A A A 1  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =  ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎟⎟  September 22, 2008 Or,  A A A 2 2 r  ( ) ( ) ⎪⎪ ⎧  ⎨ ⎧ θ = θ =  whose hypotenuse is A ) sin( A A ) cos( A A y x ⎩  A A A r r r  Vector and its components ‰ The components are the legs of the right triangle y x= r= r  ) (  September 22, 2008 ‰ v is tangent to the path in x-y graph; j v i v j dt i dt dt v y x  ‰ Average velocity Average & I nstantaneous Velocity y x  ˆ ˆ ˆ ˆ  j v i v j dy i dx r d v  Δ = r  Δ  j v i v j t y i t x v , y avg x avg avg ,  = ≡ → → t lim lim  Δ Δ  r r r r =  ‰ I nstantaneous velocity dt r d t r v v t avg  ≡ r r  Δ Δ  t r v avg  ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Δ  r r r = Δ  Δ + Δ = − + − =  ˆ ˆ ( 1 2 1 2 1 1 2 2  ˆ ˆ ( )  ) ( )  ) ( ˆ  ˆ ˆ ˆ  September 22, 2008 „ Displacement: j y i x j y y i x x j y i x j y i x r  ) (t r r 1 2 r r r r r r − = Δ r r r r r r − = Δ  ‰ I n two dimensions „ Position: the position of an object is described by its position vector always points to particle from origin. „ Displacement: x 1 (t 1 ) 3.0 m, x 2 (t 2 ) 1.0 m ∆x = +1.0 m + 3.0 m = +4.0 m  − = Δ  t x t x x  ) ( ) ( 1 1 2 2  Position and Displacement  ‰ I n one dimension x 1 (t 1 ) = - 3.0 m x 2 (t 2 ) = + 1.0 m− + = Δ r 1 2Δ= Δ= + = = r r= + = =  INTRODUCCIÓ Posicions Negatives SISTEMA DE REFERÈNCIA 1D Posicions Positives Δ x < Δ x >  Eix horitzontal  r X r r X Δ r = Δ x = Δ x i A B X B referència (0) O: Origen de Δ y Δ y > > O: Origen de   Eix vertical referència (0) r r r  Δ r = Δ y = Δ y j Δ y < X A 9 INTRODUCCIÓ SISTEMA DE REFERÈNCIA 2D  y x  r r r r r Δ r = Δ Δ + + x y = Δ x i Δ y j 10  INTRODUCCIÓ SISTEMA DE REFERÈNCIA 2D  y  r r Δ r a r b  x  r r r r r Δ + + r = Δ x Δ y = Δ x i Δ y j 11 INTRODUCCIÓ  SISTEMA DE REFERÈNCIA 3D  z z  r r Δ r b r a  y x  r r r r r r rΔ + + = Δ Δ Δ = Δ + Δ Δ r x y z x i y j z k 12 Vector posició: Es t ract a del vect or que va des de l’ origen de ref erència f ins a una cert a posició. E l D t l t A(2 3 1) i l t B(1 0 1) i ó l • Exemple: Donat el punt A(2, 3, -1) i el punt B(1, 0, 1), quin són els vect ors posicions? I el desplaçament ? I la velocit at mit j ana si ha t rigat 2s en arribar d’ un punt a l’ alt re?  3 t r r t r v m A B m r r r r r  1  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  − −  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  − =  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  1 r r r A B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  2  = − = Δ r r r ⎟ ⎞  3  1  1  3  2  m  [ ]  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  ⎜ ⎛ − 1  = − = Δ r  Δ Δ  2  2  1 v s m  2  3 iˆ  2  = s m kˆ jˆ  − =  14  = Δ  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  ⎢⎣ ⎡  ⎥⎦ ⎤  ⎢⎣ ⎡  ⎥⎦ ⎤  Magnituds bàsiques  ⎜ ⎜ ⎝  ⎜ ⎜ ⎛  3  = r [ ]  m  3  1  3  2  1 r r r ⎟ ⎟ ⎞  ⎜ ⎜ ⎛ −  = ⎟ ⎟ ⎞  ⎜ ⎜ ⎛  ⎟ ⎟ ⎞  − ⎟ ⎟ ⎠  = = Δ r r r  1⎠ ⎝  1  2 r A − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  2 m  1 r B + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  [ ] ] m [ kˆ jˆ 3 iˆ  [ ]  Magnituds bàsiques  2  3  1  3  1 r r r A B  ⎟ ⎟ ⎠  ⎜ ⎜ ⎝+  − = ⎟ ⎟ ⎠  ⎜ ⎜ ⎝−  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = Δ  13 [ ]  ] m [ kˆ iˆ m  1  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r  ] m [ kˆ 2 jˆ 3 iˆ r mVector posició: Es t ract a del vect or que va des de l’ origen de ref erència f ins a una cert a posició. E l D l t A(2 3 1) i l t B(1 0 2) i ó l • Exemple: Dona el punt A(2, 3, -1) i el punt B(1, 0, 2), quin són els vect ors posicions? I el desplaçament ? I la velocit at mit j ana si ha t rigat 2s en arribar d’ un punt a l’ alt re?−−− − = Motion of a Turtle A turtle starts at the origin and moves with the speed of v = 10 cm/ s in the direction of 25 to the horizontal.  ° (a) Find the coordinates of a turtle 10 seconds later.  (b) How far did the turtle walk in 10 seconds? September 22, 2008 Motion of a Turtle  Notice, you can solve the equations independently for the horizontal (x) and vertical (y) components of motion and then combine them! then combine them! r r r  = x y ‰ X components: o v v cosv v v  25 9 . 06 cm / s Δ x = v t = 90 . 6 cm x = = x ‰ ‰ Y components: Y components o sin  25 4 . 23 / Δ y = v t = 42 . 3 cm v = v = cm s y y  ‰ Distance from the origin: 2 2  = Δ Δ = September 22, 2008d x y 100 . cm Average & I nstantaneous Acceleration  r r v  ‰ Average acceleration Δ a avg ≡ t  Δ Δ Δ v v r Δ Δ v v x y  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  a = i j = a i a j avg avg , x avg , y + +  Δ t Δ t  ‰ I nstantaneous acceleration  r r r  dv  r r Δ v d v r d v dv x y ˆ ˆ ˆ ˆ lim lim  a ≡ a = = + + a = = i j = a i a j t → t → avg x y dt dt dt  Δ t dt  ‰ The magnitude of the velocity (the speed) can change ‰ The direction of the velocity can change, even though the magnitude is constant  ‰ Both the magnitude and the direction can change September 22, 2008 Moviment Rectilini Uniforme (MRU)EQUACIONS MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) (3 COMPONENTS)  r r r r r − r m o ⎡ ⎡m ⎤ ⎤ v const  = = Velocitat t t  − s o  ⎢⎣ ⎥⎦ r r r  = ⋅ − m [ ] o oPosició-desplaçament r r v ( t t )  = = ⋅ − + r x ( t ) x v ( t t ) x o x o y o y o + r = y ( t ) = y v ⋅ ( t − t )= = ⋅ −  r z ( t ) z v ( t t ) z o z o  ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ r  m ⎡ ⎤  = a ⎜ ⎟  Acceleració 18  2 ⎜ ⎟  s  ⎝ ⎠  ⎢⎣ ⎥⎦t t a v v =El moviment depèn del punt de vist a, es a dir, depèn del sist ema de ref erència que t riem.En el sist ema S l’ obj ect e f a un moviment rect ilini unif orme (MRU).  ) ( o y oy y − t t a v v ⋅ + =  Relativitat del moviment  2 r r r r r − = − ⋅ ⇒  ) v v r t ( r a  ( ) ( ) 2 o 2  r 19  a a a a  = z y x  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  ) ( − t t a v v + = r v r  ) ( o z oy z − t t a v v ⋅ + =  ) ( o x ox x  Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA) EQUACIONS MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) (3 COMPONENTS)  1 ) ( − t t a t t v r r ⋅ + − + = r r r r  2  − ⋅ + − ⋅ + = 2 ) (  1 ) ( ) ( t t a t t v z t z z z  2  1 ) ( ) ( − ⋅ + − ⋅ + = t t a t t v y t y y y 2 ) (  2  − ⋅ + − ⋅ + = 2 ) (  1 ) ( ) ( t t a t t v x t x x x  2  ) (  1 ) ( t t a v v − ⋅ + = 2  20 • En el sist ema S’ l’ obj ect e est à en repòs.  Relativitat del movimentEl moviment depèn del punt de vist a, es a dir, depèn del sist ema de ref erència que t riem.>En el sist ema S la pilot a f a un moviment parabòlic (Podem relacionar les magnituds del moviment dels dos sistemes   21 • En el sist ema S’ la pilot a f a un moviment de caiguda lliure (MRUA).  de referència? Canvi de sistema de referènciaCAS 1: Sist ema de ref erència S est à en repòs, i sist ema S’ est à en moviment (velocit at const ant MRU).  y y’ O y  S x  O’ y S’ x’ v’ o  22 Δ t v x =  ' t v x Δ = Δ ' o v v  ' =  Canvi de sistema de referència  CAS 2: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el mat eix sent it que el sist ema de ref erència. y y’  S S’  v’ o v’  x x’ O O’  ' ' x x ' v ' t ( ' ' ) x = x v Δ t Δ = Δ Δ x = v v Δ t + + + 23  = ' v Canvi de sistema de referènciav v '  CAS 3: Sist ema de ref erència S est à en moviment (MRU), i sist ema • S’ est à en moviment (velocit at const ant MRU). y y y y’  S S’ v v’ o o  y y ' = v’  No hi ha moviment en y  x x’ O O’' ( ' )  x x ' ( v ' v ) t x = x v − Δ v t Δ = Δ − Δ v v ' ( v ' v )  = − + 24  Canvi de sistema de referència  CAS 4: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el sent it perpendicular al sist ema de ref erència.  ' ' y = v Δ t y y’ y Moviment S’ S del mòbil v ’ y  ' x =  ' y =  x x’ Moviment   O’ O v’ v o de S’ de S ' ' ' ' x x = v v Δ Δ t t  ' ' y = y = v Δ t y  ( ' , ' ) v = v v y  ' ' x = x = v Δ t 25 Canvi de sistema de referència  CAS 4: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el sent it perpendicular al sist ema de ref erència.  v ’ y ' ' y y v t  = = Δ y  y y’ S S’  ' ' x x v t  = = Δ Δr r  x x’ v ( v ' , v ' )  = y  O O’  v v’ o r r ( x , y ) ( v ' t , v ' t )  Δ = Δ Δ = Δ Δ y r 2 2 2 2 ( ' ) ( ' ) ' '  Δ = Δ + Δ = ⋅ Δ = ⋅ Δ + r v t v t v v t v t y y 26  Canvi de sistema de referència ACTIVITATS DEURES Llibre McGraw Hill p.77 Exemples 1 Llibre McGraw Hill p.79-80 Exemple 2-3  I Important Equació de la trajectòria t t E ió d l t j tò i Relative Motion/ Reference Frames r r r PA PB BA + r = r r r r r r  v = v v v = const PA PB BA BA r r = a a PA PBand .  ‰ Assume the following notation: „ P is an observer, stationary with „ respect to the earth A and B are two moving objects September 22, 2008  September 22, 2008 September 22, 2008  Repàs: Magnituds bàsiques Trajectòria: Es t ract a del camí que segueix un obj ect e des que • comença a moure’ s f ins que s’ at ura.  Posició Inicial Posició Final 31 Trajectòria 2D Exemples:y =  f ) (x  Tipus de moviment s: • yX  MRUY • Equació de la t raj ect òria:MRU MRU  y = m m ⋅ x  x  v  y  m = v  x 32  Trajectòria 2D Exemples: • y f )  = (x  Tipus de moviment s: • yX  MRUAY • Equació de la t raj ect òria:MRU MRU  2  2  y = a ⋅ x  x  33 Trajectòria 2D Exemples:y =  f ) (x  Tipus de moviment s: • yX  MRUY • Equació de la t raj ect òria:MRUA MRUA  2  2  y = a ⋅ x  x  34  MOVIMENT PARABÒLIC  Moviment amb una t raj ect òria parabòlica. Es t ract a d’ un moviment • en 2D.  35 MOVIMENT PARABÒLICProj ect ile mot ion paramet ers: y ‰ x and y are the initial positions.  ‰ v is the initial velocity v ‰  α is the angle of the projectile v 0y motion .  α  y  v 0x v = v cos α  x  v = v sin α  y x x x  36  MOVIMENT PARABÒLIC  Can you help Jon t o score a basket ball by comput ing t he init ial • velocit y which he should t hrow t he ball? x  37 Projectile Motion ‰ 2-D problem and define a coordinate system: x- horizontal, y- vertical (up + )  ‰ Try to pick x = 0, y = 0 at t = 0 (usually and if possible) and if possible)  ‰ Horizontal motion + Vertical motion  ‰ Horizontal: a = 0 , constant velocity x motion 2  ‰ Vertical: a = -g = -9.8 m/s , v = 0 y 0y ‰ Equations: Horizontal Verticaly y v t gt f i iy = − 2 v = v a t y y y v = v x x 1 2

RECENT ACTIVITIES

Etiquetas

Documento similar

Wanderers, Purpose, and Esoteric Work in this Time of Transition
0
0
52
PS 3.4-2011 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 4: Service Class Specifications
0
0
417
PS 3.5-2011 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 5: Data Structures and Encoding
0
0
117
PS 3.6-2011 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 6: Data Dictionary
0
0
216
PS 3.3-2009 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 3: Information Object Definitions
0
0
1286
PS 3.5-2009 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 5: Data Structures and Encoding
0
0
116
PS 3.6-2009 Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM) Part 6: Data Dictionary
0
0
188
Las paradojas del autoritarismo: ejército, campesinado y etnicidad en el Perú, siglos XIX al XX The paradoxes of authoritarianism: army, peasants, and ethnicity in Peru, from XIX to XX centuries
0
0
18
Inequality in Land Ownership, the Emergence of Human Capital Promoting Institutions and the Great Divergence
0
1
41
Spatial patterns of natural hazards mortality in the United States
0
0
13
Milestones in the History of Data Visualization
0
0
7
American Association for the Advancement of Science, 1200 New York Avenue NW, Washington, DC 20005. (print ISSN 0036-8075; online ISSN 1095-9203) is published weekly, except the last week in December, by the
0
0
5
American Association for the Advancement of Science, 1200 New York Avenue NW, Washington, DC 20005. (print ISSN 0036-8075; online ISSN 1095-9203) is published weekly, except the last week in December, by the
0
0
5
Potential impacts of a warming climate on water availability in snow-dominated regions
0
0
7
Changes in Atmospheric Constituents and in Radiative Forcing
0
0
106
Show more