1.- FUNCIÓN CONSTANTE - 18 blog fns elementales m4

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  FUNCIONES LINEALES 1.- FUNCIÓN CONSTANTE   Una función constante es aquella en la cual el valor de la variable dependiente siempre es el mismo sea cuál sea el valor de la variable independiente. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas, X. Su expresión matemática es y=b. Para representar esta función, como sabemos que pasa por el punto (0,b), pues si x=0, y=b. Por tanto sólo falta obtener otro punto, que se consigue dándole un valor a ‘x’ y obteniendo el correspondiente valor de ‘y’ (que también será b).  2.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD   La función de proporcionalidad: y = m·x: - Es una recta, pues a variaciones iguales de x corresponden variaciones iguales de y.- Pasa por el punto (0,0), pues si x=0, entonces y=m·0=0.  Por tanto, para representarla solo falta obtener otro punto.  Ejemplo: Para representar y=(3/4)x hacemos: x=4y=(3/4)·4=3. Entonces tenemos los puntos: (0,0) y (4,3).  3.- FUNCIÓN LINEAL: REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA A PARTIR DE SU ECUACIÓN  Las funciones de la forma se llaman funciones lineales. Se caracterizan porque su  y  mx  n crecimiento es constante y, por tanto, se representan mediante rectas (por eso, en la tabla de valores sólo nos hace falta calcular dos puntos).  La ecuación   se representa por una recta con estas características:  y mx n ).Representa la variación de y por cada unidad de x.  Su pendiente es m (la pendiente es el coeficiente de la x en la ecuación y  mx  n  Su ordenada en el origen es n. Es decir, si x = 0, entonces y = n. Por tanto, corta al eje Y en La pendiente (coeficiente de la x) es la variación (positiva o negativa) que experimenta la y cuando la x aumenta una unidad. Para hallarla, se divide la variación de la y por la variación de la x entre dos de sus puntos.  5.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES   Los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:  Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’.  Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=n  el punto es (0,c).  FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA 1.- FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA 2     Las funciones cuya expresión es un polinomio de grado 2, y ax bx c se llaman funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical (paralelo al eje Y).  b  El vértice de una parábola se calcula encontra  x   ,  ndo su coordenada ‘x’ mediante la expresión: v  2 a  y su coordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la ecuación de la parábola, es decir:   b b     V   , f      2 a 2 a     b  Eje de simetría de la parábola: es la recta de ecuación: x   . Cumple que la gráfica es simétrica 2 a respecto a dicho eje (que es una recta vertical, es decir, paralela al eje Y).  Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:  Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.  Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c  el punto es (0,c). 2 Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación ax  bx  c  , que tendrá dos, 2 una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando)   b   4 ac . Dos  soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.  Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la  parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia abajo.  Ejemplo 4: Representa gráficamente la parábola    8  6 2    x x x f .  2.- ESTUDIO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA COMPLETA EJERCICIOS:   1º.- Representa gráficamente las siguientes parábolas:  2  6) y = -x +6x-8 [V=(3,1), P. Corte: (2,0), (4,0), (0,-8)]  2  7) y=x +4x+3 [V=(-2,-1), P. Corte: (-3,0), (-1,0), (0,3)]  2  8) y = -x +4x-3  2  9) y=x +6x+5 [V=(-3,-4), P. Corte: (-1,0), (-5,0), (0,5)]  2  10) y = -2x + 4x + 6  2  11) -6x+8 [V=(3,-1), P. Corte: (4,0), (2,0), (0,8)] y=x  2  12) y=x -4 [V=(0,-4), P. Corte: (2,0), (-2,0), (0,-4)]  3.- CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLAS POR TRASLACIÓN   FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k  Las funciones cuya ecuación es de la forma y  se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se  x representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.   Su dominio de definición es:      ,    ,  .   Su recorrido es:    ,     ,  .  Es creciente en todo su dominio si k < 0 y decreciente si k > 0.   No tiene extremos relativos.  Es discontinua en x=0.  No corta a los ejes de coordenadas.  Asíntotas: - Horizontales: y=0.Verticales: x=0.   Es simétrica respecto al origen de coordenadas.FUNCIONES RACIONALES  k   HIPÉRBOLAS DE LA FORMA y  :   x  a  Son traslaciones de la función de proporcionalidad inversa. El nuevo eje vertical es x = a. Se obtiene trasladando la función a la derecha o a la izquierda según el signo de a.  k   HIPÉRBOLAS DE LA FORMA y   b :   x  a k  Son traslaciones de la función y  . El nuevo eje vertical es x = a. Se obtiene trasladando la  x  a  función a la derecha o a la izquierda según el signo de a. El nuevo eje horizontal es y = b y se obtiene trasladando el eje de ordenadas (y = 0) hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de b.  En los cocientes de polinomios de grado 1 en numerador y denominador, efectuamos la división de los  k  polinomios de manera que obtenemos una expresión de la forma y   b y entonces aplicamos lo  x  a anteriormente visto. x   3  1 y 1 ; eje vertical: x = 4; eje horizontal: y = 1.  Ejemplo:     Ejercicio: Encuentra la expresión algebraica para cada una de las siguientes funciones: x 6 Ejercicio: Representa la función: y  :  2 x   6  2  4     4 x x  Se descompone la función de la forma:     1  y  2  2   2 x x x   4 Se representa:  y x 4 Se representa:  , trasladando la gráfica horizontalmente hacia la derecha dos unidades.  y x   2   4 Se representa: 1 , desplazando la gráfica anterior verticalmente hacia arriba una unidad.    y   2 x   Caso general:   P ( x )  Las funciones cuya ecuación es de la forma f ( x )  , con P y Q polinomios, se llaman funciones  Q ( x ) racionales.   Su dominio de definición son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.  Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio.  Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P(x) que pertenezcan al dominio.  Asíntotas: Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador.Horizontales: comparamos grados:si grado[P(x)] > grado[Q(x)]  no hay asíntota horizontal. si grado[P(x)] < grado[Q(x)]  y=0 es asíntota horizontal.  asi grado[P(x)] = grado[Q(x)]  y=k es asíntota horizontal, donde k   , siendo ‘a’ y ‘b’  b los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) respectivamente.  Ejemplos:   FUNCIÓN EXPONENCIAL x   Las funciones de la forma f ( x ) a , con “a” un número positivo, se llaman funciones exponenciales.   Su dominio de definición son todos los números reales.  Su recorrido son los reales positivos.  Es continua en todo su dominio.  Corta al eje OY en el punto (0,1).  Si a > 1 crece siempre y si a < 1 decrece siempre.  Asíntotas: Verticales: no tiene.Horizontales:si a > 1  y = 0 es asíntota horizontal en menos infinito. si 0 < a < 1  y = 0 es asíntota horizontal en más infinito.  Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto  ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas:  Tiempo Número (horas) de bacterias x y  1  1  2  2  4  3  8 x  f ( x )   2 La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de,  aproximadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr. de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de semidesintegración habrá 1/2 gr. de radio, al cabo de dos periodos (3200 años) habrá 1/4 y así sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio, hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio:  Tiempo Cantidad (períodos de (gramos) semidesintegración) y x2  4  FUNCIÓN LOGARÍTMICA   Las funciones cuya ecuación es de la forma f ( x ) log x a , con “a” un número positivo, se llaman funciones logarítmicas.   Su dominio de definición son todos los números reales positivos.  Su recorrido son todos los números reales.  Es continua en todo su dominio.  Corta al eje de abscisas en el punto (1,0).  Si a > 1 crece siempre y si 0 < a < 1 decrece siempre.  Asíntotas: Verticales: x = 0.Horizontales: no tiene.Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto  ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en función del número de bacterias. La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos:  Número Tiempo de (horas) bacterias x y  1  2  1  4  2  8 y  3 Tenemos: x   2 . La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: y  log x 2 Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Un físico de  un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr. de radio con el fin de que sirviera de reloj para la posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio:  Cantidad Tiempo de radio (período de (gr.) semidesintegración) x y  8 -3 4 -2 2 -1  x    Las gráficas de la función exponencial y logarítmica con la misma base, es decir, y a y y log x a son simétricas respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante. Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.  FUNCIONES CIRCULARES Función seno de x  Dominio: R.   Recorrido:     1 ,  1       Crecimiento y decrecimiento: En el intervalo  ,  2   es estrictamente creciente en , y    2   3   3        , 2 y estrictamente decreciente en , .      2  2  2     3     Extremos relativos: En el intervalo  , 2   tiene un máximo en x  y un mínimo en x  .  2  2  Simetría: Es simétrica respecto al origen de coordenadas.   Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad.  Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,0) y, en el intervalo  ,  2   , corta al eje OX en (0,0), (π,0) y (2π,0).   Asíntotas: No tiene.  Función coseno de x    Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad.  , corta al  Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,1) y, en el intervalo  ,  2    3       eje OX en , y , .       2  2       Asíntotas: No tiene.  Función tangente de x 3     Dominio: Todos los números reales excepto los múltiplos de y .  2  2  Recorrido: R.   Crecimiento y decrecimiento: Es siempre creciente.  Extremos relativos: No tiene.  Simetría: Es simétrica respecto del origen de coordenadas.   3  y (y en todos sus múltiplos).   Continuidad: Es discontinua en  2  2 , 2 , al eje OX en   Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en (0,0) y, en el intervalo    (0,0) y (π,0).   3  x y x son asíntotas verticales en el intervalo , 2 .   Asíntotas: Las rectas        2  2