Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

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  CIRCUITOS EN FRECUENCIA Capitulo 1.  Análisis de circuitos LIT empleando transformadas Ing. Carlos E. Cotrino B. M Sc. Rev. 2016-3 Francisco Carlos Calderón. M.Sc. Análisis de circuitos LIT empleando transformadas 1. OBJETIVOS Preparar y ejecutar un plan para solucionar un problema (CDIO 2. 2.1.1.4) Generalizar suposiciones para obtener la respuesta bajo 3. condiciones restringidas. (CDIO 2.1.2.1) Identificar e interpretar modelos cualitativos y cuantitativos 4. (CDIO 2.1.2.4) Inferir el comportamiento del circuito a partir de 5. representaciones entrada – salida (CDIO 2.1.3.4) Computar y comparar soluciones (CDIO 2.1.5.1/4/5)  Contenido Semana 3 1. Definir y aplicar el teorema de Convolución 2. Definir funciones de sistema.  3. Evaluar funciones de sistema de circuitos LIT.  4. Práctica: emplear MATLAB para analizar circuitos en el dominio de la frecuenciaMaterial para repasar  Transformada de LaplaceFracciones ParcialesSolución de ecuaciones diferencialesempleando Laplace  Clasificación de los sistemas en tiempo continuo   Sistemas lineales y no lineales: Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición.  2  1  1  2 ax t ay t 1 ( ) es ( ) 1 2.  La respuesta a Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad Clasificación de los sistemas en tiempo continuo   Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo. x t y t  ( )  ( )   x ( t )   y ( t )    a b  Sistemas lineales “deben cumplir”   t x 1   t x 2 H H a b2     t x 1   t x 2 H   t y 3   t x 3 Que sean iguales 1 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo   Causalidad   Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).   CAUSAL:   NO-CAUSAL:       t x t y       t x t y  Clasificación de los sistemas en tiempo continuo   Estabilidad   Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen.   ESTABLE: sen(t).   NO-ESTABLE: 1/t , Sistemas Invariantes “deben cumplir” y t x t 1   1   H t  y t t    1 o x t Que sean iguales x t 2   1   t   H y t 2     Invariante en el tiempo   Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.ConvoluciónEstablece enlace entre las representaciones en el dominio del tiempo y dominio de la frecuenciaConsecuencia de la linealidad y la InvarianciaTeoría de CircuitosAnálisis de SeñalesTeoría de Comunicaciones  Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia SLIT discretos. de impulsos, aplicando la propiedad: x n n a x a n a           Dada una señal discreta x[n]   suma de impulsos desplazados x[n] puede escribirse como una x n x n x n x n   ...   1   1   1   1 ...             x n x k n k        k    Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos H       n k h x y [k ] [n ]    [  ] [n ] k H               x n  x k n  k y n  x k h n        k k   k     Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos El sistema además de ser lineal  [ n  k ] h k [n ] también es invariante en el H tiempo entonces: h [ n ] h [ n k ] k   x [ n ] 1 x n 2 [ ]   t H y [ n ] 2 x [ n ] 1 H y [ n ] 1 y [ n  k ] 1  t  Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos  y n  x k h n     k k     y n  x k h n  k     k    Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de También representada como: superposición” y n  x n  h n Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la    respuesta al impulso unitario. Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.                   k k t k x t x                    k k t k x lím t x                 d t x t x La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso ) (    t H ) , (  t h Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:  ] [ ] [ k n h n h k   ) ( ) , (      t h t h Causalidad - relajado Sistema es CAUSAL no hay respuesta para t<  h(t,) = 0  t< y los tiempos  > t no cuentan: el límite superior se puede reemplazar por t. Sistema en ESTADO CERO O RELAJADO en t ; la salida y(t) t ≥ 0 es debida  o exclusivamente a u(t) y por lo tanto el límite inferior de la integral se puede fijar como t . o Convolución Para un sistema lineal, causal , invariante yrelajado en t :  o t y t h t u d  ( )  (   ) (  )  t  Sistema invariante con el tiempo: la entradau aplicada en el instante (t + T) segundos  o genera la salida y desplazada (t + T) o segundos. Convolución Como el sistema esta relajado en t se puedeo  elegir t = 0 o t y t  h t  u d  ( ) (  ) (  )     En sistemas invariantes la respuesta esfunción de (t-): el tiempo transcurrido desde la aplicación de la excitación.  ConvoluciónLa integral de convolución es conmutable: La respuesta es el área bajo la curva producto entre  la entrada y la respuesta impulso desplazada ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  ) ( ) ( ) ( t u t h t y d h t u t y d u t h t y t t                   DemostraciónObtención de la respuesta en estado cero a partir de la respuesta impulso  Ejemplo 12 La respuesta impulso de un sistema lineal e invariante es:  − = [ ]1(t)  Encontrar la respuesta en estado cero para una entrada: = 1( ) Usar la integral de convolución  Teorema de convoluciónPara sistemas LIT la transformada de Laplace de  y(t):  Y dt e d u t h dt e t y s st st                         ) ( ) ( ) ( ) (   Sistema causal:Sistema en estado cero en t = 0 -  Y dt e e d u t h s s t s                            ) ( ) )( ( ) ( ) (       t t h  ) ( Teorema de convoluciónIntercambiando el orden de integración: Cambio de variable:      t      Y d e u dt e t h s  s t s                      ) ( ) ( ) ( ) ( ) (         Y d e u d e h s  s s                    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Teorema de convolución Sistema relajado o en estado cero antes de la • aplicación de la excitación: h     (  )  Límites de la integral interna se pueden cambiar: •       s   s  ( ) Y ( s )  h (  ) e ( d  ) u (  ) e d                       H s ( ) Teorema de convolución  H(s) es independiente de τ :   s Y s H s u e d  ( )  ( ) (  )          U s ( ) Corresponde a: • Y s H s U s  ( )  ( ) ( ) La convolución de dos funciones en el dominio t es • equivalente a multiplicar las transformadas de las funciones en el dominio s. Ejemplo 12 cont …Resolver empleando el teorema de convolución en el dominio de Laplace.  Modelo entrada - salidaLa transformada de Laplace de la ecuación integro– diferencial, con condiciones iniciales nulas (estado inicial = cero) lleva a:  n n  1 ( ... ) ( ) a s  a s   a s  a Y s  n n  m m  1 1 1  ( b s b s ... b s b ) U ( s ) m m      1 1 Función de sistema Relación entre la transformada de Laplace dela respuesta en estado cero y la transformada de Laplace de la entrada:  {Respuesta en estado cero} H s ( )  L  {Entrada} Sistema Función de L m m  1 Y ( s ) b s b s ..... b s b m m      1 1 ( )  H s   n n  1 U ( s ) a s  a s  .....  a s  a n n  1 1 Respuesta impulso Respuesta Impulso: respuesta enestado cero de un sistema LIT a un impulso.    {Entrada} {  (t)}  1 L L H s   ( ) {h(t)} L Sistema Función de  La función de sistema es latransformada de Laplace de h(t)  Funciones racionales y propias Una función racional de s es el cociente dedos polinomios de s con coeficientes reales. m m  1 N s b s b s b s b ( )   .....   m m  1 1 F s ( )   n n  1 D s a s a s a s a ( )   .....   n n  1 1 Una función racional es propia si el gradpolinomio del numerador (m) es igual o menor que el grado del denominador (n): m ≤ n.  Funciones propias y coprimas Una función racional es estrictamente si el grado del numerador es  propia menor que el grado del denominador: m < n.Ejemplo 13Ecuación entrada-salida de un sistema LITFunción de transferencia.Propiedades de H(s). ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 2 t u dt t du t y dt t y d dt t y d      Polos y Ceros Polo: valores de s para los cuales lafunción F(s) es indeterminada. Cero: valores de s para los cuales lafunción F(s) es nula. Pueden estar ubicados en cualquier>parte del plano complejo. Pueden estar en s = 0 y en s = ∞   5 ( ) = ( + 1)( + 2)  Polos y Ceros1 2 + 1 ( + 3) Polos y Ceros  5Función de sistema  La excitación o entrada externa puede servoltaje, v(t), o corriente, i(t) La respuesta puede ser voltaje, v(t), ocorriente, i(t) Funciones en el punto de manejo: Variablesaplicadas y medidas en el mismo terminal. Funciones de transferencia: Variablesaplicadas y medidas en diferentes terminales  Funciones en el punto de manejoCuando las variables se definen sobre el mismo par  de terminales hay dos posibilidades:Impedancia en el punto de manejo: Admitancia en el punto de manejo:  {Voltaje} } {Corriente Y(s) L  L  } {Corriente {Voltaje}  ) ( L L   Z s SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E Función de transferencia  Transadmit acia s V s  I H s s V s  V H s i o i o  : ) ( ) ( ) (  Transferen voltaje de cia : ) ( ) ( ) (  2 1    SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E   ) ( ) ( Re ) ( ) (  Excitación s s spuesta H s s G    Función de transferencia Transferen corriente de cia : ) (  ) ( ) ( Transimped ancia : ) (  ) ( ) (  4 3  s  I s  I H s s I s  V H s i o i o    ) ( ) ( Re  ) ( ) ( Excitación s s spuesta  H s s G   SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E Ejemplo 14  El amplificador • operacional es ideal. Evaluar las • función Vo(s)/Vin(s) Ejercicio: evaluar • la impedancia de entrada. Z(s) Ejercicio: Evaluar:Z(s) = Vi(s)/I(s)H(s) = V /V  iGraficar los diagrama de polos y ceros  1 ) 2 ( 2      s s s s V V i oComparar los diagramas.  1  3  5  1 2 3 2       s s s s s I V i i Ejercicio La respuesta impulso (en voltaje) de uncircuito LIT es: ℎ = 5 ∙ 1 − 5 ∙ 1( − 2) Cual será el voltaje de salida si laa. entrada es: b.  3 ∙ 1 − 3 ∙ 1 − 2 (3cos(3 )) ∙ 1( ) Conceptos clavesLa transformada de Laplace sólo sepuede aplicar en sistemas lineales e invariantes con el tiempo (LIT) H(s) es la transformada de Laplace dela respuesta impulso.  Conceptos claves La función de transferencia sóloaplica en sistemas lineales, invariantes con el tiempo y en estado cero. Convolución en el tiempo esequivalente a multiplicación de las transformadas.  Temas para el futuro Convolución y Transformada de Fourieren Análisis de Señales. Funciones de sistemas : Análisis deSeñales y Sistemas Dinámicos.