ESTADÍSTICA II UNIDAD I: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 3RA PARTE (CLASE 2009)

0
0
6
4 months ago
Preview
Full text
  ESTADÍSTICA II UNIDAD I: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 3RA PARTE (CLASE 20/ 09) Estimación de una media de población: conocida   σ Requisitos   1. La muestra es aleatoria simple. (Todas las muestras del mismo tamaño tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas).   2. El valor de la desviación estándar poblacional s es conocido.   3. Cualquiera o ambas de estas condiciones se satisfacen: la población está normalmente distribuida o n > 30.   La media muestr al es el mejor estimado puntual de la media poblacional µ   Por lo regular la media muestral brinda el mejor estimado, por las siguientes dos razones:  1. Para todas las poblaciones, la media muestral es un estimador sin sesgo de la media poblacional µ, lo que significa que la distr ibución de medias muestr ales tiende a concentr ar se alrededor del valor de la media poblacional µ. [Es decir, las medias muestrales no tienden sistemáticamente a sobreestimar el valor de µ, ni tienden sistemáticamente a subestimar el valor de µ, sino que tienden a coincidir con este valor.  2. Para muchas poblaciones, la distr ibución de las medias muestr ales tiende a ser más consistente (con menos var iación) que la distr ibución de otros estadísticos muestr ales.  EJEMPLO Pulso cardiaco de mujeres El pulso car diaco de las per sonas es sumamente importante. Sin él,  ¿dónde estaríamos? El conjunto de datos sobr e los pulsos car diacos (en latidos por minuto) de mujeres seleccionadas al azar ; son: 76 72 88 60 72 68 80 64 68 68 80 76 68 72 96 72 68 72 64 80 64 80 76 76 76 80 104 88 60 76 72 72 88 80 60 72 88 88 124 64 a. Determine los estadisticos media y desviacion estandar Los estadísticos son los siguientes: =76.3 y s =12.4986  b. Utilice esta muestra para calcular el mejor estimado puntual de la media poblacional µ de los pulsos car diacos de todas las mujeres. Para los datos muestrales, = 76.3. Como la media muestral es el mejor estimado puntual de la media poblacional µ, concluimos que el mejor estimado puntual de los pulsos car diacos de todas las mujeres es 76.3  Margen de error Cuando reunimos un conjunto de datos muestr ales, como los datos de los 40 pulsos de  mujeres, podemos calcular la media muestral y esa media muestral por lo r egular es diferente de la media poblacional . La diferencia entre la media muestral y la media poblacional es un er r or E que se expr esa como  µ  sigue:   EJEMPLO Pulsos cardiacos de mujeres: Para la muestra de pulsos car diacos de mujer es, tenemos n= 40 y = 76.3, y la muestra es aleatoria simple. Suponga que sabemos que σ es 12.5.  Utilice un nivel de confianza del 95% y calcule lo siguiente: a. El mar gen de er r or E.  b. El inter valo de confianza para µ.  SOLUCIÓN REQUISITO Primer o debemos verificar que se cumplan los r equisitos. La muestra es aleatoria simple. Se supone que conocemos el valor de σ (12.5).  Con n >30, se satisface el requisito de que “la población se distr ibuye normalmente o n > 30”. Por lo tanto, los r equisitos se cumplen. a/ 2  a. El nivel de confianza del 0.95 implica que a = 0.05, entonces z = 1.96. El mar gen de err or E se calcula usando la fórmula:Determinación del tamaño muestral requerido para estimar μ  La determinación del tamaño de una muestr a aleatoria simple es un aspecto muy impor tante, puesto que muestr as que son innecesar iamente grandes desper dician tiempo y diner o, en tanto que muestr as muy pequeñas conducen a resultados deficientes. El tamaño muestral no depende del tamaño de la población (N); el tamaño muestral depende del nivel de confianza deseado, del margen de err or deseado y del valor de la desviación estándar .  σTamaño muestral para estimar la media μ  EJEMPLO Puntuaciones de CI de pr ofesores de estadística Suponga que se quiere estimar la puntuación media del CI de la población de pr ofesores de estadística. ¿Cuántos pr ofesores de estadística deben seleccionar se al azar para efectuar pr uebas de CI, si quer emos tener una confianza del 95% de que la media muestral estará dentr o de 2 puntos de CI de la media poblacional?  SOLUCIÓN Con z / 2 =1.96, E = 2 y 15, σ=  αEstimación de la media poblacional: desconocida σ  Para construir un estimado del intervalo de confianza de una media poblacional cuando no se conoce la desviación estándar , se utiliza la distr ibución t de Student (en vez de la distribución normal), suponiendo que ciertos requisitos se satisfacen.  Requisitos   1. La muestra es aleator ia simple.  2. La muestra pr oviene de una población distribuida nor malmente o n > 30.  / 2  El valor cr ítico denotado por t α . Un valor de t / 2 se puede encontrar en la tabla A-3 localizando el númer o  α  apr opiado de grados de libertad en la columna izquier da y avanzando por el renglón corr espondiente hasta encontrar el númer o que aparece directamente abajo del ár ea adecuada en la par te superior .  Definición El número de grados de libertad para un conjunto de datos muestrales recolectados es el número de valores muestrales que pueden variar después de haber impuesto ciertas restricciones a todos los valores de los datos. grados de libertad = n -1 EJEMPLO Cálculo de un valor crítico Una muestr a de tamaño n=23 es una muestr a aleatoria simple / 2  seleccionada de una población distr ibuida normalmente. Calcule el valor crítico t corr espondiente a un nivel  α de confianza del 95%.  SOLUCIÓN Puesto que n =23, el númer o de grados de liber tad está dado por n -1 = 22. Utilizando la tabla A-3, localizamos el renglón 22 con respecto a la columna de la extr ema izquierda, un nivel de confianza del 95% corr esponde a = 0.05, de manera que encontramos los valor es listados en la columna par a una área de 0.05 en  α  dos colas. El valor cor respondiente al renglón par a 22 grados de liber tad y la columna para una ár ea de / 2 = 0.05 en dos colas es 2.074; entonces t α 2.074.  / 2  Al encontrar valores críticos denotados por t , se puede describir el margen de err or E de este inter valo de  α confianza.  Margen de error E para la estimación de µ (con desconocida) σ  EJEMPLO Constr ucción de un inter valo de confianza En el diagr ama de tallo y hojas, se incluyen las edades de solicitantes que no lograron un ascenso (según datos de “Debating the Use of Statistical Evidence in Allegations of Age Discrimination”, de Barr y y Boland, Amer ican Statistician, vol. 58, núm. 2). Existe el tema más impor tante de si ciertos solicitantes fuer on víctimas de discr iminación por edad, per o por ahora se utilizar an esos valores como una muestra con el pr opósito de estimar la media de una población más grande. Suponga que la muestr a es aleator ia simple y utilice los datos muestrales con un nivel de confianza del 95% a. El mar gen de er r or E  b. El inter valo de confianza para µ SOLUCIÓN REQUISITO Pr imer o debemos verificar que los dos r equisitos para esta sección se satisfacen. Estamos suponiendo que la muestra es aleatoria simple. Ahora revisamos el requisito de que “la población se distribuya nor malmente o n> 30”. Puesto que n =23, debemos verificar que la distribución sea apr oximadamente normal. La for ma de la gráfica de tallo y hojas sugier e una distr ibución normal. Además, una gr áfica cuantilar normal confirma que los datos muestr ales pr ovienen de una población con una distribución apr oximadamente normal. Por consiguiente, los requisitos se satisfacen y procedemos con los métodos de esta sección. / 2  a. El nivel de confianza de 0.95 implica que = 0.05, de manera que t α = 2.074 (utilice la tabla A-3 con gl =n-1  α  = 22, como en el ejemplo anter ior). Después de encontrar que los estadísticos muestr ales son n= 23, = 47.0 y s =7.2, el margen de err or E se calcula como sigue. Se utilizan decimales adicionales para minimizar  ̅ los er r ores de redondeo en el inter valo de confianza calculado en el inciso b).  b. Con = 47.0 y E = 3.11370404, constr uimos el inter valo de confianza de la siguiente manera:  ̅  INTERPRETACIÓN Este r esultado también podr ía expresar se en la forma de 47.0 ± 3.1 o (43.9, 50.1). Con base en los r esultados muestr ales dados, tenemos una confianza del 95% de que los límites de 43.9 años y 50.1 años r ealmente contienen el valor de la media poblacional µ.  Elección de la distribución apropiada  EJEMPLO Selección de distr ibuciones Suponiendo que usted planea constr uir un intervalo de confianza par a la media poblacional µ, utilice los datos / 2 para determinar si el margen de er ror E debe calcular se utilizando un valor crítico de z (de la distr ibución  α  nor mal), un valor cr ítico de t α/2 (de la distribución t) o ninguno de estos (de manera que estos métodos no son viables).  SOLUCIÓN Remítase a la tabla 7-1 par a deter minar lo siguiente:  a. Puesto que la desviación estándar poblacional no se conoce y la muestr a es grande (n > 30), el mar gen de  σ  err or se calcula usando t  α/2  b. Puesto que la desviación estándar poblacional no se conoce y la población está distribuida normalmente, el  σ  mar gen de er r or se calcula usando t  α/2  c. Puesto que la muestra es pequeña y la población no tiene una distribución normal, el margen de er ror E no 2 debe calcular se usando un valor crítico de z α/2 o t α/ . Se aplican otr os métodos.  d. Puesto que la desviación estándar poblacional s se conoce y la muestra es gr ande (n > 30), el margen de er ror se calcula usando z α/2 .