GRÁFICAS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: Gráfica x-t

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CINEMÁTICA  Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres:  1. Posición. Es el lugar en que se encuentra el móvil en un cierto instante de tiempo.  2. Velocidad. Es la variación de la posición con el tiempo. Nos indica si el móvil se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía el tiempo. Si esta magnitud permanece constante, es decir, no varía, la aceleración es nula y hablamos de MOVIMIENTO UNIFORME.  3. Aceleración. Es la variación de la velocidad conforme va pasando el tiempo, por lo que la aceleración sólo está presente en el MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO. Esta magnitud, puede ser positiva, negativa o nula.  MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Siendo: v, velocidad.  x, posición, distancia, desplazamiento o espacio recorrido; (x = espacio final), (x o = espacio inicial). t, tiempo; (t = tiempo final), (t o = tiempo inicial).  x 7 x x ∆x v = ; v = =    t t 7 t ∆t v → m/ s    x = v t; x = x ⋅ v∆t; ∆x = v ∆t ⋅ Unidades en el S.I.: x,x → m   t,t → s  x x 7 x ∆x  t = ; t 7 t = ; ∆t = v v v  GRÁFICAS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: Gráfica x t En los ejercicios siguientes, x = 0. o Se representa el movimiento para: A . v = 2m/s y B . v = 4 m/s.  9 B A  8 La línea verde representa la velocidad, v = 2 m/sA  7 x (m)  2  4  6  8  6 x (m) t (s)  1  2  3  4  5  4  3 La línea azul representa la velocidad, v = 4 m/sB  2 x (m) 4 8 12 16  1 t (s)  1  2  3  4  Gráfica v t   v (m/s) v (m/s)  5  4  4 AB  3  3  2  2  1 1 1 2 3 4 t (s) 1 2 3 4 t (s)  El área del rectángulo entre los ejes de coordenadas (v7t, en este caso), la línea de velocidad y el tiempo correspondiente, representa el espacio recorrido en cada instante.  Gráfica v t   4 AB  3  3  2  2 v (m/s) v (m/s)  1  1 t (s) 1 2 3 4  1 2 3 4 t (s)  Para t = 2 s y v = 2 m/s, x = 2·2 = 4 m Para t = 1 s y v = 4 m/s, x = 1·4 = 4 m Para t = 4 s y v = 2 m/s, x = 4·2 = 8 m Para t = 3 s y v = 4 m/s, x = 3·4 = 12 m  En los ejercicios siguientes, x ≠ 0. Se representa el movimiento para: o  A . x = 10 + 15t. y B . x = 20 + 5t. Tipo : y = mx + n  x (m) 10 25 40  40  x = 10 + 15t A.  t (s)  1  2  35  30 x (m) x (m) 20 25 30 35  25  x = 20 + 5t B.  t (s)  1  2  3  20  15  10 t (s)  1  2  3  10 x (m) A  o · t + 1/2 · a · t  1 2 3 4 0,02 0,04 0,06 t (s) v (m/s)  1 2 3 4 0,1 0,3 0,2  A B  0,08 v = 0,066 m/s v = 0,2 m/s  Datos: t o = 0, x o = 0, v o = 0, a = 2 m/s  2 .  Ecuaciones: x = x o  2 = ½ · a · t  El área del rectángulo entre los ejes de coordenadas (v7t, en este caso), la línea de velocidad y el tiempo correspondiente, representa el espacio recorrido en cada instante.  2 = ½ · 2 · t  2 = t  2 ( A ) v = v o + a · t = a · t = 2 · t ( B ) Dando valores a t, en la ecuación ( A ), x = t  2 obtenemos la siguiente tabla:  2  4  6  8  Gráfica v t t (s) v (m/s)  2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO   GRÁFICAS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO: a›0 Gráfica x t   = ⋅ 2   v 7 v v ∆v v a = ; a = ; v = a t; t = ; t t 7 t ∆t a  →     →    →    1 v = v + a t; v = v 7 a t; x = x + v t + a t  Siendo : a, aceleración; v, velocidad; (v = velocidad final), (v o = velocidad inicial) t, tiempo; (t = tiempo final), (t o = tiempo inicial).  Unidades en el S.I.:v  2  1  t (s)  3 x (m)  1  4  9 2 a m/ s v m/ s t s  20  = v o ·t + ½·a·t  2 a (m/s  2  ) (m/s)  Para t = 3 s y a = 2 m/s  2 , v = 3·2 = 6 m/s  El área del rectángulo entre los ejes de coordenadas (a7t, en este caso), la línea de aceleración y el tiempo correspondiente, representa la velocidad en cada instante.  Si calculamos el área del triángulo, formado por el eje de abcisas y la línea de velocidad, tendremos el espacio recorrido en cada momento. S = ½DbDh = x  Datos: t o = 0, x o = 0, v o = 8 m/s, a = 7 2 m/s  2 .  Ecuaciones: x = x o + v o t + 1/2·a·t  2  2  3 4 t (s)  = 8·t 7 ½·2·t  2  = = 8·t 7 t  2  ( A ) v = v  o  2  obtenemos la siguiente tabla: x (m)  5  10  15  1  2  a‹0; Gráfica: x t   Dando valores a t, en la ecuación ( B ). v = 2·t obtenemos la siguiente tabla:  t (s)  1  2  3 v (m/s) 0  2  4  6 t (s) 0 1 2 3 4 5 x (m) 0 7 12 15 16 15  1  2  3 4 t (s)  Gráfica v t   2  1  4  6  8 B v (m/s)  1  2  3 4 t (s)  1  2 a (m/s  2  ) (m/s)  Gráfica a t Para t = 1 s y a = 2 m/s  2 , v = 1·2 = 2 m/sa·t = 8 7 2·t ( B ) Dando valores a t, en la ecuación ( A ), x = 8·t 7 t  Gráfica v t   v (m/s)  f  Dando valores a t, en la ecuación ( B ). v = 8 7 2·t obtenemos la siguiente tabla: 8 t (s) 0 1 2 3 4  B  6 v (m/s) 8 6 4 2 0  4  2  1  2  3 4 t (s)  Gráfica a t   2  a (m/s ) (m/s)  1  71  1  2  3 4 t (s)  72  a › 0 Gráfica: x t x 0, v ≠ 0 o ≠ o  2 Datos: t o = 0, x o = 2 m, v o = 4 m/s, a = 3 m/s .  2  2 Ecuaciones: x = x o + v o ·t + 1/2·a·t = 2 + 4·t + ½·3·t ( A )  x (m) v = v o + a·t = 4 + 3·t ( B )  A   16  t (s)  1  2  3 x (m) 2 7,5 16 27,5  x = 2 o  1  2  3  t (s) v t  5  2 3 t (s)  13  10 S  1 S  2 Sumando las dos superficies, tendremos el espacio recorrido en el tiempo elegido.  x = S  1 + S 2 = v o Dt + ½DbDh = v o Dt + ½DtD(v7 v o ) =  = v o Dt + ½DtDat = v o Dt + ½DaDt  2  v  1  1  4  2 a (m/s  2  ) (m/s)  Gráfica a t   3 El área del rectángulo entre los ejes de coordenadas (a7t, en este caso), la línea de aceleración y el tiempo correspondiente, representa la velocidad en cada instante. v o  Ecuación: v = 20 + t  20  10  30 1 2 3 4  1  8  v (m/s)  2  3 v (m/s) 4 7 10 13 t (s)  Dando valores a t, en la ecuación ( B ). v = 4 + 3·t obtenemos la siguiente tabla:  Gráfica v t   2 3 t (s)  1  t (s)  1  BEjemplo:  1  2  3  4  5 v (m/s) 20 21 22 23 24 25  ⋅ ⋅ − −  2  2  1 x = x v t at = 20 5 1 5 = 112,5 m  1  5  10 m 1 h km v = 72 = 20 m/ s h 1 km 3600 s v v 25 20 a = = = 1 m/ s t  2 2 2  Un móvil, circula a una velocidad de 72 km/h. En 5 s, su velocidad pasa a ser de 25 m/s. Calcula la aceleración y el espacio recorrido es ese tiempo. Representa la gráfica v7t. 3⋅ + ⋅ ⋅ Ejemplo: Una locomotora, parte del reposo y alcanza una velocidad de 25 m/s en 10 s.  Calcula la aceleración y el espacio recorrido para alcanzar esta velocidad. Representa la gráfica v7t. v 2v = v at; 25 = 10a; a= 2,5 m/ s  1  120x = x v t at = 100a = 50a = 125 m 2  2  2  10 Ecuación: v = 2,5Dt 2 4 6 8 10 t t (s)  2  4  6  8  10 v (m/s)  5  10  15  20  25Ejemplo:  Un móvil lleva una velocidad de 5 m/s cuando pasa por la posición x o = 5 m,  2 siendo sometido entonces a una aceleración de 0,5 m/s durante 10 s.  Calcula su posición al cabo de 10 s, la velocidad que lleva en ese instante y el espacio que ha recorrido. Realiza la gráfica v7t.  1 2  1 2 v x = x v t at = 5 5 10 + ⋅ + ⋅ 0,5 10 = 80 m ⋅ + +  2  2  10 v = v at = 5 0,5 10 = 10 m/ s + ⋅ +  9  8 ∆x = x x = 80 5 = 75 m − −  7  6  5 Ecuación: v = 5 + 0,5Dt t  2 4 6 8 10 t (s)  2  4  6  8  10 v (m/s)  5  6  7  8  9  10PROBLEMAS DE CINEMÁTICA (M.R.U. Y M.R.U.A.)  1º. Un tren se dirige a velocidad constante de 72 km/h hacia una estación, que dista 5 km, en la que no hace parada. Tomando la estación como sistema de referencia, calcula: a) Posición del tren a los dos minutos. b) Distancia recorrida en ese tiempo, c) tiempo que tarda en pasar por la estación.  2º. Dos ciclistas parten de dos pueblos separados 10 km. Circulan por la misma carretera, pero en sentidos opuestos. El primero va a 36 km/h. El segundo circula a 27 km/h, y sale un minuto después que el primer ciclista. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse ambos ciclistas y en qué punto de la carretera se cruzan.  3º. Un coche que circula a 108 km/h frena, deteniéndose en 5 s. Calcula la distancia que recorre hasta que se para.  4º. Un coche que lleva una velocidad de 144 km/h, frena y después de recorrer 160 m se para. Calcular: a) La aceleración, supuesta constante.  b) Tiempo invertido por el móvil en el frenado. 5º. Un automóvil arranca desde el reposo, alcanzando 108 km/h en 10 s. Calcula la aceleración del movimiento y la distancia recorrida hasta ese instante.  6º. Un avión recorre 1.200 m. a lo largo de la pista antes de detenerse cuando aterriza. Suponiendo que su deceleración es constante y que en el momento de tocar tierra su velocidad era de 100 Km/h. Calcular: a) tiempo que tardó en pararse. b) Distancia que recorrió en los diez primeros segundos. 7º. Dos móviles A y B situados a 2 Km de distancia, salen partiendo del reposo, simultáneamente, uno en persecución del otro, ambos con movimiento uniformemente acelerado, siendo la aceleración del más lento, el  del B. Calcular: a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleración de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro.  8º. La velocidad de un vehículo es de 108 Km/h y en 5 segundos reduce la velocidad a 72 Km/h. Calcular el tiempo que tardó en pararse. Realizar las gráficas x7t y v7t.  9º. ¿Qué velocidad llevaba un coche en el momento de frenar si ha circulado  2  12 m. hasta pararse (a = 30 cm/s ). ¿Cuánto tiempo ha necesitado hasta parar? 10º. Dos automóviles que marchan en el mismo sentido y con velocidad constante, se encuentran a una distancia de 126 Km. Si el más lento va a una velocidad de 42 Km/h, calcular la velocidad del más rápido, sabiendo que le alcanza en seis horas, y el espacio recorrido por cada uno hasta encontrarse. 11º. Calcular la longitud de un tren cuya velocidad es de 72 Km/h y que ha pasado por un puente de 720 m de largo, si desde que penetró la máquina hasta que salió el último vagón han pasado 3/4 de minuto. 12º. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleración de 2  2  m/s . ¿Cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 144 Km/h? 13º. Indica las características de los siguientes movimientos:  2  2  2  a) x = 7 12Dt + 1/2D3Dt  b) x = 74 + 1/2D5Dt  c) x = 3 7 4Dt + 1/2D7Dt 14º. Un tren entra en una estación con una velocidad de 72 Km/h. Frena y se detiene después de recorrer 150 m . Calcular la aceleración de frenado y el tiempo que ha tardado en parase. Representa la gráfica v7t. 15º. Un avión que parte del reposo, recorre 1000 m de pista antes de despegar. Si la velocidad del avión en el momento de despegar es de 120 Km/h. Determinar: a) La aceleración. b) El tiempo que tarda en despegar. 16º. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 2/5 de minuto, la velocidad de 108 Km/h. Calcular: a) Su aceleración.  b) Espacio recorrido en ese tiempo. 17º. Dos coches distanciados 443 km salen en sentido contrario para encontrarse. Sabiendo que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de velocidad mayor salió hora y media más tarde, calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse. b) ¿A qué distancia se encuentran?  2  18º. Un cuerpo tiene una aceleración a = 7 2 cm/s y queda en reposo al cabo de 30 s. Calcular: a) ¿Cuál es su velocidad inicial?. b) ¿Que espacio ha recorrido?